25 сентября 2020 в 12:09
Стивен Вольфрам: кажется, мы близки к пониманию фундаментальной теории физики, и она прекрасна
- Перевод
В продолжение моего поста про вычислимую Вселенную я хочу представить вам свой перевод статьи Стивена Вольфрама, созданной в рамках его проекта The Wolfram Physics Project.
За прошедшие несколько веков произошел настоящий прорыв в наших знаниях о принципах работы окружающего нас мира. Но несмотря на это, у нас все еще нет фундаментальной теории физики, и мы все так же не имеем ответа на вопрос о том, как именно работает наша Вселенная. Я занимаюсь этой темой уже порядка 50-и лет, но только в последние несколько месяцев все кусочки пазла наконец-то начали складываться вместе. И получающаяся картина оказалась гораздо прекрасней, чем все, что я только мог себе представить.
В те времена, когда я зарабатывал себе на жизнь теоретической физикой, я не особо задумывался над поиском так называемой «теории всего». Я был больше озабочен тем, чтобы извлечь что-нибудь новое из тех теорий, которые у нас уже есть. И я думал, что даже если когда-нибудь и появится единая фундаментальная теория физики, то она неизбежно окажется очень сложной и запутанной.
Но когда в начале 80-х я начал изучать теорию клеточных автоматов, я осознал, что работающие даже по очень простым правилам системы могут иметь поразительно сложное поведение. И это натолкнуло меня на мысль: может быть Вселенная устроена схожим образом? Может быть под всей кажущейся сложностью и многогранностью нашей Вселенной скрываются очень простые правила?
В начале 90-х годов у меня сформировалось некоторое понимание того, как эти правила могли бы выглядеть, и ближе к концу того десятилетия я начал понимать, как из этих простейших правил мы можем вывести наши знания о пространстве, времени, гравитации и всех других физических явлениях. Этим идеям «вычисления» законов физики я посвятил около 100 страниц в своей книге A New Kind of Science.
Мне всегда хотелось начать большой исследовательский проект, чтобы продвинуться в этом направлении дальше. Я пытался начать такой проект в 2004 году, но сильно увяз в работе над Wolfram Alpha и Wolfram Language. Время от времени я встречался со своими друзьями-физиками и мы обсуждали мои идеи. Это были интересные разговоры, но мне казалось, что поиск фундаментальной теории физики — это слишком сложное занятие, доступное только реально увлеченным фанатикам.
Было что-то, что сильно беспокоило меня в моих идеях. Правила, определяемые моей теорией, казались мне слишком негибкими и надуманными. Как создатель языка для математических вычислений, я постоянно думал об абстрактных системах правил. И очень часто у меня было ощущение, что что-то подобное может быть и в физике. Но мои рассуждения никогда никуда меня не приводили. Пока внезапно осенью 2018 года у меня не появилась интересная идея.
В некотором смысле эта идея была простой и очевидной, хотя и очень абстрактной. Но кроме того, она была очень элегантной и минималистичной. Мне показалось, что я очень близок к пониманию того, как работает наша Вселенная. К сожалению, я был жутко занят развитием Wolfram Alpha, и не смог выделить времени на еще один проект. Все изменилось, когда на нашей ежегодной летней школе в 2019 году я встретил двух молодых физиков — Джонатана Горарда и Макса Пискунова, которые вдохновили меня наконец-то сесть за проработку своих идей. Физика всегда была моей страстью, и вот после своего 60-летнего юбилея в августе 2019 года я наконец-то решился сделать это.
Итак, вместе с двумя вдохновившими меня молодыми физиками в октябре 2019 года мы начали наш проект. И не успев начать наши исследования, мы сразу же стали наталкиваться на очень интересные находки. Мы воспроизвели все, что я разрабатывал в 90-х годах, но гораздо более элегантным способом. Из маленьких бесструктурных правил мы вывели пространство, время, относительность, гравитацию и намеки на квантовую механику.
Мы провели миллионы экспериментов, проверяя свои догадки. Постепенно все начало проясняться, мы начали примерно понимать как работает квантовая механика. Мы поняли, что такое энергия. Мы вывели формулировку квантовой теории через интегралы по траекториям, созданную моим покойным другом и учителем Ричардом Фейнманом. Мы увидели некоторые глубокие структурные связи между относительностью и квантовой механикой. Все встало на свои места. Мы начали понимать не только как работают законы физики, но и почему.
Я и мечтать не мог о том, что наш прогресс будет настолько стремительным. Я ожидал, что наши исследования будут идти гораздо медленнее, что если повезет, мы будем потихоньку продвигаться в понимании законов физики и того, что происходило с нашей Вселенной в первые секунды ее существования, и что мы потратим долгие годы на эти изыскания. В конце, если у нас будет полная фундаментальная теория физики, мы сможем найти конкретную единую формулу для нашей Вселенной. И даже сейчас я не знаю, как долго это займет: год, десятилетие или даже целый век. Несколько месяцев назад я не был даже уверен, что мы на верном пути. Но сегодня все изменилось. Слишком многое встало на места. Мы еще не знаем точных деталей и того как именно настроены шестеренки нашего мира, но я полностью уверен, что имеющаяся у нас модель однажды расскажет нам о том, как устроена Вселенная.
Самый верный признак качества научной модели — простые законы объясняют сложные эффекты. И наша теория как никакая другая соответствует этому эмпирическому правилу. Из простейших формул мы получаем целые разделы современной физики. И что наиболее удивительно — нам до сих пор не пришлось вводить для этого никаких дополнительных параметров. Мы просто ищем объяснения физических явлений в самих свойствах нашей модели, не добавляя ничего сверх того.
В основе нашей модели лежат настолько простые правила, насколько это только возможно. Забавно, что эти правила могут быть записаны в одну строчку на Wolfram Language. В сыром виде, они не очень похожи на все те математические структуры, что мы знаем. Но как только мы смотрим на результаты многоитерационного рекурсивного применения этих правил, то становится ясно насколько элегантно они связаны с современной математикой. То же самое и с физикой. Базовая структура наших моделей выглядит абсолютно чуждой всему, что было сделано в физике за последние несколько столетий. Но то, что мы получили изучая наши модели, было изумительно: мы обнаружили, что многие теории, созданные физиками в последние десятилетия, отлично ложатся на нашу модель.
Я боялся, что мне придется выкинуть все существующие достижения науки. Но оказалось, что несмотря на то, что наша модель, подход и методы очень сильно отличаются от всех существующих, в основе нашей теории лежит все то, над чем физики работают последние десятки лет.
После мы начнем физические эксперименты. Если бы вы спросили меня пару месяцев назад, когда мы получим какие-либо проверяемые выводы из наших моделей, я бы ответил, что нескоро и точно до того, как мы найдем финальную формулу. Но сейчас мне кажется, что я был неправ. И фактически мы уже получили некоторые догадки о неизведанных причудливых явлениях, существование которых можно экспериментально подтвердить.
Что же дальше? Я буду рад сказать, что я думаю, что мы нашли дорогу к фундаментальной теории физики. Мы построили парадигму, фреймворк и вычислительные инструменты для нее. Но теперь мы должны закончить работу. Мы должны проделать тяжелую работу по физическим, математическим и алгоритмическим расчетам и узнать, можем ли мы наконец-то ответить на мучающий нас тысячелетиями вопрос о том, как работает наша Вселенная.
Я хочу разделить с вами этот волнующий момент. Я с нетерпением жду того, чтобы многие люди приняли участие в нашем проекте. Этот проект ведь не только мой и моей маленькой команды. Это проект важный для всего мира. И когда мы закончим его, он станет нашим величайшим достижением. Поэтому я хочу, чтобы как можно больше людей поучавствовали в нем. Да, многое, что нужно сделать, требует нетривиальных познаний в физике и математике, но я хочу распространить информацию о проекте как можно шире, чтобы каждый мог внести свой вклад и вдохновиться тем, что станет величайшим в истории интеллектуальным приключением.
Мы официально запускаем наш Wolfram Physics Project. Начиная с сегодняшнего дня мы будем транслировать все, что мы делаем и делиться нашими открытиями со всем миром в реальном времени. Я публикую все наши материалы и весь наш софт для расчетов. Мы будем постоянно выкладывать сводки о нашем прогрессе и различные образовательные материалы.
Также мы выкладываем в открытый доступ Реестр Замечательных Вселенных. Он заполнен примерно тысячью правил. Я не думаю, что даже хотя бы одно из них относится к нашей Вселенной, хотя я и не могу быть полностью уверенным в этом. Но однажды, и я надеюсь это однажды наступит уже очень скоро, в нашем реестре появится правило, полностью описывающее нашу Вселенную.
Так как же работает наша модель? Я написал 448-страничное техническое изложение наших идей (да, я изрядно поработал в течение предыдущих нескольких месяцев). Другой член нашей команды Джонатан Горард написал две 60-страничные технических статьи. На странице нашего проекта доступно еще несколько материалов по данной теме. Но в этой статье я собираюсь дать краткое изложение общих положений нашей теории.
Все начинается с самого простого множества абстрактных отношений между абстрактными элементами, которое также может быть представлено в виде графа.
Предположим, у нас есть множество отношений:
которое в виде графа выглядит так:
Все, что мы определяем здесь — это отношения между элементами (например {1, 2}). Порядок, в котором мы объявляем эти отношения, не имеет значения, а вот порядок элементов внутри каждого отношения важен. И при зарисовке графа имеет значение только то, что с чем соединено. Фактическое расположение элементов на рисунке выбрано только из соображений красоты и ничего другого. Также не имеет значения, как называются элементы. Я пронумеровал их на рисунках, но можно было бы этого и не делать.
Так что же мы будем делать с этими графами? Мы будем применять к ним очень простое правило много много раз. Вот пример подобного правила:
Это правило гласит, что мы должны взять два отношения из множества и проверить их на соответствие образцу {{x,y},{x,z}}. Если есть совпадение, то мы заменяем эти два отношения четырьмя отношениями {{x, z}, {x, w}, {y, w}, {z, w}} (где w — это новый элемент множества).
Мы можем представить эту трансформацию как операцию над графами:
Теперь давайте применим это правило к нашему множеству:
Отношения {2,3} и {2,4} соответствуют нашему образцу, так что мы заменяем их на четыре новых отношения и получаем:
Мы можем представить результат в виде графа (я нарисовал его перевернутым по отношению к изначальному):
Что будет, если мы продолжим применять это правило к нашему множеству рекурсивно? Результат будет выглядеть так:
Давайте сделаем это еще пару раз и получим более общую картину:
Что произошло? У нас было очень простое правило. Но рекурсивное применение этого правила породило структуру, выглядящую очень сложным образом. Здравый смысл подсказывает нам, что так не бывает. Но в действительности такое спонтанное зарождение сложности встречается повсеместо при применении простейших правил к простейшим структурам. Вся моя книга A New Kind of Science посвящена этому феномену и тому, почему изучение этого феномена критически важно для современной науки.
Именно из таких простых структур и правил мы выведем принципы работы нашей Вселенной и всего, что в ней есть. Давайте еще раз посмотрим на то, что мы сделали. Мы взяли простое множество абстрактных отношений и стали рекурсивно применять к нему простое правило преобразования. Но то, что мы получили, простым назвать никак нельзя. И самое главное, у получившегося объекта становится заметна некая форма. Мы не вкладывали никакого смысла в эту форму. Мы просто взяли простейшее правило, и используя это правило мы построили граф. При визуализации этого графа мы видим, что он принимает определенную форму.
Если мы исключим всю материю во Вселенной, то окажется, что наша Вселенная это просто громадный кусок пространства. Но что такое пространство? У нас есть математические абстракции пространства уже более двух тысяч лет. Но что это пространство? Состоит ли оно из чего-то, и если состоит, то из чего именно?
Я думаю, что пространство похоже на картинки сверху — это целый сгусток связанных друг с другом абстрактных точек. Только на картинке сверху всего 6704 точек, тогда как в реальной Вселенной их около
Мы пока не знаем точное правило, отражающее нашу Вселенную — и это точно не то правило, которое мы только что рассматривали. Так давайте же обсудим какие возможные правила бывают, и что из них получается.
Характерной чертой правила, которое мы рассматривали выше, было то, что оно работает с множествами бинарных отношений, содержащих пары элементов (например {1, 2}). Но та же самая система может работать с отношениями, содержащими большее количество элементов. Вот например, множество из двух троичных отношений:
Мы не можем представить это множество в виде обычного графа, но мы можем использовать гиперграф — конструкцию, в которой мы обобщаем ребра графа, которые соединяют пары точек, в гипер-ребра, соединяющие любое количество точек:
Заметьте, что мы имеем дело с направленными гиперграфами, где порядок, в котором находятся точки в гипер-ребре имеют значение. На этой картинке «мембраны» просто означают то, какие точки соединены в одно гипер-ребро.
Мы точно так же можем задать правила для гиперграфа:
И вот что будет, если мы применим это правило к простейшему возможному троичному множеству
Отлично! В таком случае, что будет, если мы начнем запускать разные случайные простые правила? Вот некоторые результаты таких запусков:
Вам не кажется, что все эти структуры выглядят очень «по-живому»? И да некоторые эти модели определенно могут иметь отношение не только к фундаментальной физике, но и например к конструкции биологических клеток. По факту, мы видим здесь различные общие формы поведения. Некоторые из них простые, некоторые не очень.
Вот примеры типов структур, которые мы видим:
Главный вопрос состоит в том, что: если мы будем прогонять эти правила достаточно долго, выдадут ли они нам результат, воспроизводящий нашу физическую Вселенную? Или формулируя по-другому, можем ли мы найти в этой вычислимой по простым правилам математической структуре нашу физическую Вселенную?
И даже если наша физическая Вселенная там присутствует, как мы можем в этом убедиться? Все что мы видим на картинках выше — результат нескольких тысяч итераций. В нашей настоящей Вселенной было произведено около
И даже здесь есть потенциально фундаментальная проблема: феномен вычислительной несократимости. Одно из величайших достижений математики произошло около трех столетий назад: были изобретены уравнения и формулы, которые говорили как система ведет себя без описания каждого шага, который эта система совершает. Но еще много лет назад я понял, что в вычислимой Вселенной очень часто сделать это оказывается невозможно. Даже если вы знаете точное правило, по которому работает система, вы не можете понять, как эта система работает без выполнения каждого шага вычисления.
Вы можете подумать, что если мы знаем правило, которому следует система — тогда, используя всю вычислительную мощь наших компьютеров и мозгов, мы всегда можем «запрыгнуть вперед» и понять, как система будет вести себя. Но в действительности этому мешает эмпирический закон, который я называю Принципом Вычислительного Равенства — почти в любом случае, когда поведение системы не очевидно простое, то не существует алгоритма расчета состояния системы после определенного количества итераций с вычислительной сложностью меньшей, чем вычислительная сложность осуществления всех этих итераций. Так что мы не сможем «обогнать» вычисление, и чтобы понять, как система работает, нам придется выполнить несократимое количество шагов.
Для наших моделей это может оказаться потенциально большой проблемой. Потому что мы не можем даже приблизиться по количеству выполняемых итераций к тому числу итераций, которое произвела наша Вселенная с начала своего существования. Также не совсем понятно, сможем ли мы извлечь достаточно информации из прогонки наших моделей на доступных нам вычислительных мощностях и понять, как эта информация соотносится с известными нам законами физики.
Самым большим сюрпризом для меня стало то, что, кажется, нам везет. Мы знаем, что даже когда в нашей системе есть вычислительная несократимость, в ней также есть бесконечное число зон вычислительной сократимости. И большинство этих зон соответствуют нашим знаниям о физике.
Давайте взглянем на одно простое правило из нашей громадной коллекции:
Вот что оно порождает:
А через еще несколько итераций получается вот это:
Получившаяся структура сильно напоминает очень простой «кусочек пространства». Если мы продолжим рекурсивно применять наше правило дальше, то эта сетка будет становиться все тоньше и тоньше, пока в конце концов не станет неотличима от сплошной плоскости.
Вот другое правило:
Эта структура уже напоминает трехмерную. А вот еще одно правило:
Это не кажется вам странным? У нас есть правило, которое определяет как переписывать куски абстрактного гиперграфа без какого либо упоминания геометрии или трехмерного пространства. И после определенного количества итераций это правило порождает гиперграф, выглядящий как трехмерная поверхность.
И несмотря на то, что тут в действительности есть только связи между точками, мы можем «догадаться» на какой фигуре может быть такая поверхность и отрендерить результат в трех измерениях:
Если мы продолжим, то постепенно сетка будет становиться все тоньше и тоньше, пока не превратится в непрерывную 3D поверхность, которую вы могли бы изучать на курсе матанализа. Конечно, в некотором роде это не «настоящая» поверхность — это просто гиперграф, представляющий кучу абстрактных отношений, но каким-то образом паттерн этих отношений делает структуру все более и более похожей на поверхность.
И я думаю, что именно так устроено все пространство в нашей Вселенной. В общем-то это куча дискретных, абстрактных отношений между абстрактными точками. Но при взгляде с определенного масштаба мы видим, что паттерн этих отношений делает эту структуру похожей на привычное нам непрерывное пространство. Это похоже на наше представление о воде: по сути вода — это куча дискретных молекул, но когда мы смотрим на нее с большого масштаба, она кажется нам непрерывной жидкостью.
Люди размышляли о том, что пространство может быть дискретным с античности, но в современную физику вписать эту концепцию ни у кого не получалось. Да и гораздо удобнее рассматривать пространство как континуум, чтобы была возможность использовать всю мощь созданного нами математического аппарата. Но сейчас мне кажется, что идея о том, что пространство дискретно, точно войдет в фундаментальную теорию физики.
Мы ощущаем пространство как трехмерное. Как наши правила могут воспроизвести эту трехмерность? Два правила, которые мы только что рассмотрели, породили двумерные поверхности: в первом случае плоскую, во втрором имеющую некую форму. Конечно, это не очень честные примеры двумерного пространства — это просто сетки, которые распознаются нами как поверхности. С нашей Вселенной дела обстоят иначе, она устроена гораздо сложнее.
Давайте тогда рассмотрим такой случай:
Если мы будем продолжать применять создавшее эту картину правило еще много много раз, получим ли мы что-то вроде пространства, и если да, то сколько измерений будет у такого пространства? Чтобы получить ответ на этот вопрос, мы должны определить не допускающий возражений способ определения количества измерений. Но помните, нарисованные мною картинки — это просто визуализация структуры, являющейся сгустком дискретных отношений или гиперграфом без какой-либо информации о координатах, геометрии или даже топологии. Отдельно подчеркну, что этот граф можно отрисовать еще кучей разных способов:
Для того, чтобы определить количество измерений, нам нужно вспомнить, что площадь круга вычисляется как πr^2, а объем сферы как 4/3 π r^3. В общем случае, «объем» d-мерного аналога сферы равен константе умноженной на r^d. Давайте вернемся к нашему гиперграфу и выберем случайную начальную точку. Затем мы обведем r гиперребер всеми возможными способами. Таким образом у нас получается аналог «сферического шара» на гиперграфе. Вот примеры гиперграфов, соответствующих двухмерным и трехмерным пространственным решеткам:
И если вы посчитаете количество точек, достигнутых обводкой «графовым радиусом r», вы обнаружите, что их количество в данных двух случаях растет как r^2 и r^3 соответственно. Таким образом мы получаем способ определения измерения нашего гиперграфа. Просто начинаем в определенной точке и смотрим, как много точек мы можем достигнуть, обрисовывая r ребер:
Теперь чтобы определить точное значение кол-ва измерений, нам нужно соотнести получившийся результат с r^d. Нужно учитывать, что не стоит брать слишком маленький r, при котором структура графа может сильно повлиять на результат, или слишком большой r, при котором мы можем упереться в край. Также мы должны учитывать как это «пространство» эволюционирует с каждой итерацией. Учитывая эти ограничения, мы можем провести серию расчетов для точного определения измерений. Проведя расчет для рассматриваемого нами выше примера, мы получим число измерений примерно равное 2.7:
Если мы проделаем то же самое для вот этого графа:
Количество измерений стремится к 2-м, как и должно:
Но что означает нецелое значение числа измерений? Давайте рассмотрим фракталы, которые мы легко можем создать с помощью такого правила:
Если мы замерим количество измерений для этого фрактала, то получим log2(3)=1.58 — обыкновенное нецелое измерение для треугольника Серпинского:
Из рассматриваемого нами выше правила не получается такой же ровной структуры как эта. Фактически, даже если правило само по себе полностью детерминировано, порождаемая им структура может быть совершенно случайной формы. Но наши измерения предполагают, что при достаточном количестве итераций это правило производит на свет что-то похожее на 2.7-мерное пространство.
Разумеется, 2.7 это не 3, и по-видимому это конкретное правило не является правилом нашей Вселенной (хотя не известно какое количество измерений получится у этого пространства, если мы прогоним это правило хотя бы
Кстати, мы говорили о «появлении пространства» в наших моделях, но в действительности таким образом появляется не только пространство, но и все остальное, что есть во вселенной. В современной физике пространство описано многообразно и служит, так сказать, фоном для всего остального: материи, частиц, планет и так далее.
Но в наших моделях в известном смысле нет ничего кроме пространства: то есть все во Вселенной должно «состоять» из пространства. Или если перефразировать, то тот же самый гиперграф, который порождает пространство, порождает также и все остальное, что существует в этом пространстве. Это значит, что, например, частица вроде электрона или фотона должна соответствовать какому-то простому свойству гиперграфа. Как вот в этом игрушечном примере:
По моим оценкам, в
Вот простые примеры некоторых структур, которые порождаются нашими правилами:
Все они похожи на поверхности, но они очевидно разные. И единственный способ как-то характеризовать их — по их локальной кривизне. Получается, что в наших моделях искривление — это концепт, тесно связанный с количеством измерений. Этот факт критически важен для понимания, например, того, почему возникает гравитация.
Но для начала, давайте поговорим о том, как можно измерить кривизну гиперграфа. Обычно площадь круга равна
Теперь площадь не равна
Если мы обобщим эту формулу для d измерений, то получится такая формула роста «объема»:
Это означает, что если мы рассмотрим скорость роста сферических шаров в нашем гиперграфе, мы можем ожидать двух соответствий: во-первых эта скорость соответствует
Вот пример. Вместо оценки количества измерений (в данном случае равному 2), мы описываем плавно опускающуюся переменную, соответствующую положительной (как у сферы) кривизне поверхности:
Но в чем значение кривизны? Во-первых она имеет применение в геодезии. Геодезическая линия — это наикратчайшее расстояние между двумя точками. В плоском пространстве это прямая, но в искривленном пространстве геодезические линии тоже искривлены:
В случае положительной кривизны пучки геодезических линий сходятся, в случае отрицательной кривизны они расходятся. Даже учитывая то, что геодезические линии были изначально определены для непрерывного пространства, они могут присутствовать и в графах. Для графов определение геодезической линии точно такое же — это наикратчайший путь между двумя точками на графе.
Вот геодезические линии на поверхности с положительным искривлением, порожденной одним из наших правил:
А вот геодезические линии в более сложной структуре:
Почему эти геодезические линии так важны? Причина в том, что в общей теории относительности Эйнштейна свет распространяется по траектории, соответствующей геодезическим линиям. И гравитация в этой теории соотносится с кривизной пространства. То есть когда что-нибудь отклоняется от траектории вокруг Солнца, то это происходит потому что пространство вокруг Солнца искривлено и геодезическая линия этого предмета так же искривлена.
Описание искривления пространства в общей теории относительности основывается на скалярной кривизне Риччи R, о которой мы говорили выше. Но если мы хотим понять, как наши модели воспроизводят уравнения Эйнштейна для гравитации, мы должны выяснить, что кривизна Риччи, получающаяся из наших гиперграфов соответствует кривизне, предполагаемой теорией относительности.
Здесь нам придется прибегнуть к небольшим математическим изысканиям (например, мы будем рассматривать кривизну пространства-времени, а не просто пространства). Вкратце, в различных пределах и при определенных допущениях наши модели действительно воспроизводят уравнения Эйнштейна. Сначала мы воспроизведем уравнения для вакуума без материи. Затем, когда мы будем обсуждать природу материи, мы увидим, что мы действительно получим полные уравнения Эйнштейна.
Это очень непростая задача — воспроизвести уравнения Эйнштейна. Обычно в физике все начинается с этих уравнений, но у нас они появляются из свойств самой модели.
Я думаю, стоит немного рассказать про то, как работает этот вывод. Это что-то похожее на вывод уравнений потока жидкости из уравнений динамики множества дискретных молекул, из которых эта жидкость состоит. В нашем случае, мы вычисляем скорее структуру пространства нежели скорость жидкости. Хотя для этого нам нужно сделать ряд очень похожих математических приближений и допущений. Примем, к примеру, что случайность, присутствующая в системе, годна для того, чтобы к ней была хорошо применима статистика. Также есть еще куча хитрых математических ограничений. Например, расстояния должны быть огромны по сравнению с длиной ребра гиперграфа, но достаточно маленькими по сравнению с общим размером графа, и так далее.
Достаточно часто физики «забивают» на математические тонкости. Например, около века такое продолжалось в случае с получением уравнений потока жидкости из молекулярной динамики. И нас можно обвинить в том же самом. По-другому говоря, нужно сделать еще довольно много математической работы, чтобы наш вывод был действительно строгим и тщательным, и мы в точности понимали бы его границы применимости.
Кстати, говоря о математике, даже имеющаяся у нас структура интересна. Математический анализ был разработан для работы в простом непрерывном пространстве (многообразия, которые приближены к Евклидовому пространству). Но то, что есть у нас — иное: в пределах бесконечно большого гиперграфа мы имеем нечто, очень похожее на непрерывное пространство, но обыкновенный матанализ неприменим (как минимум потому что у нашего гиперграфа может быть нецелый показатель количества измерений). Так что нам нужно изобрести некое обобщение математического анализа, которое, к примеру, может иметь дело с искривлением нецело-мерного пространства. Наверное, самая близкая к этой задаче область современной математики — геометрическая теория групп.
Кстати, нужно отметить, что существует много тонкостей в нахождении компромисса между изменением размерности пространства и наличием кривизны в нем. И несмотря на то, что нам кажется, что мы живем в трехмерной Вселенной, вполне возможны локальные отклонения и скорее всего существовали громадные отклонения в ранней Вселенной.
В наших моделях пространство определено структурой гиперграфа, отображающего множество абстрактных отношений. Но что же такое время?
В прошлом столетии в фундаментальной физике была принята точка зрения, что время «подобно пространству», и что нам следует соединять время и пространство в одну сущность и говорить о пространственно-временном континууме. И теория относительности указывает в данном направлении. Но если и был один «поворот не туда» в истории физики в прошлом веке, я думаю, это было предположение, что время и пространство имеют родственную природу. И несмотря на то, что в наших моделях это не так, как мы увидим, относительность прекрасно из них выводится.
Так что же тогда такое время? По сути, оно в точности такое, как мы его чувствуем: неумолимый процесс протекания событий и их влияния на последствия. Но в наших моделях оно является нечтом гораздо более точным: это последовательное применение правил, которые постоянно изменяют абстрактную структуру, определяющую содержимое вселенной.
Модель времени в наших моделях в некотором смысле очень вычислительная. По прошествии времени мы фактически видим результаты все большего числа шагов в вычислении. И действительно, феномен вычислительной несократимости подразумевает, что этим процессом «достигается» нечто определенное и несокращаемое. (И, например, несократимость — это то, что я считаю ответственным за «шифрование» начальных условий и связанным с законом увеличения энтропии и термодинамической стрелой времени.) Само собой разумеется, что современной информатики не существовало сто лет назад, когда было введено «пространство-время», а ведь история физики могла бы быть совершенно другой.
В наших моделях время — это просто последовательное применение правил. Но в том, как оно работает, есть тонкость, которая на первый взгляд может показаться мелочью, но на самом деле она оказывается ключом как к теории относительности, так и к квантовой механике.
В начале этой статьи я говорил о правиле:
и показал первые несколько шагов применения этого правила:
Но как именно применялось правило? Что «внутри» этих шагов? Правило определяет, как взять два ребра в гиперграфе (который в данном случае фактически является просто графом) и преобразовать их в четыре новых ребра, создав тем самым новый элемент. Таким образом, каждый «шаг», который мы показали ранее, на самом деле состоит из нескольких отдельных «событий обновления» (здесь новые добавленные соединения выделены, а те, которые собираются удалить, отмечены пунктиром):
Это не единственная последовательность событий обновления, соответствующая правилу. Правило просто говорит, что нужно найти два соседних соединения, и если есть несколько возможных вариантов, ничего не говорится о том, какое из них «правильное». И основная идея в нашей модели — просто реализовать их все.
Мы можем представить это в виде графа, показывающего все возможные пути:
Для самого первого обновления есть две возможности. Затем для каждого из этих результатов есть четыре дополнительных возможности. Но при следующем обновлении происходит кое-что интересно: две ветки сливаются. Другими словами, даже если мы выполнили разные последовательности обновлений, результат — один и тот же.
Все быстро усложняется. Вот граф после еще одного обновления:
Так как это связано со временем? В нем говорится, что в основном утверждении модели есть не только один путь времени, есть много путей и много «историй». Но модель — и используемое правило — определяет их все. И мы увидели намек на кое-что еще: даже если мы можем подумать, что следуем «независимым» путем истории, он может фактически слиться с другим путем.
Чтобы объяснить, как все это работает, потребуются дополнительные исследования и дискуссии. Но пока позвольте мне сказать, что выясняется, что время — это причинно-следственные связи между событиями, и что на самом деле, даже когда исторические пути различаются, эти причинно-следственные связи могут оказаться одинаковыми. И по сути, для наблюдателя, встроенного в систему, остается только один поток времени.
В итоге все выглядит чудесно элегантно. Но чтобы добраться до точки, где мы сможем понять всю большую картину, нам нужно подробнее разобрать некоторые аспекты. (Неудивительно, что фундаментальная теория физики — неизбежно построенная на очень абстрактных идеях — несколько сложна для объяснения, но иначе и быть не могло.)
Чтобы не усложнять задачу, я не буду говорить напрямую о правилах, действующих с гиперграфами. Вместо этого я собираюсь поговорить о правилах, которые работают со строками символов.
Скажем, у нас есть правило:
Это правило гласит, что везде, где мы видим A, мы можем заменить его на BBB, и везде, где мы видим BB, мы можем заменить его на A. Итак, теперь мы можем сгенерировать то, что мы называем ветвящейся системой для этого правила, и нарисовать «граф ветвлений», который отображает все, что может случиться:
На первом шаге единственная возможность — использовать A → BBB для замены A на BBB. Но далее есть две возможности: заменить либо первый BB, либо второй BB — и эти варианты дают разные результаты. Однако на следующем этапе все, что можно сделать — это заменить букву A — в обоих случаях получая BBBB.
Другими словами, хотя в некотором смысле у нас было два исторических пути, которые расходились в системе ветвлений, потребовался всего один шаг, чтобы они снова слились. И если вы проследите рисунок выше, то обнаружите, что это всегда происходит с этим правилом: каждая создаваемая пара ветвей всегда сливается, в данном случае после еще одного шага.
Такой баланс между ветвлением и слиянием — явление, которое я называю причинно-следственной инвариантностью. И хотя в данном случае это может показаться мелочью, на самом деле оказывается, что это свойство наших моделей объясняет, почему работает теория относительности, почему в квантовой механике существует объективная реальность и множество других основных вопросов фундаментальной физики.
Давайте объясним, почему я называю это свойство причинно-следственной инвариантностью. На картинке выше показано, какое «состояние» (то есть какая строка) приводит к какому другому. Но рискуя усложнить картину (и обратите внимание, что это невероятно просто по сравнению со случаем полного гиперграфа), мы можем аннотировать многопутевой граф, включив в него события обновления, которые приводят к каждому переходу между состояниями:
Теперь мы можем задаться вопросом: каковы причинно-следственные связи между этими событиями? Другими словами, какое событие должно произойти, прежде чем может произойти какое-то другое событие? Или, другими словами, какие события должны были произойти, чтобы создать входные данные, необходимые для какого-то другого события?
Давайте пойдем еще дальше и аннотируем граф выше, показав все причинно-следственные зависимости между событиями:
Оранжевые линии показывают, какое событие должно произойти перед каким другим событием — или каковы все причинно-следственные связи в системе ветвлений. И да, это выглядит сложно. Но обратите внимание, что эта картина показывает всю систему ветвлений со всеми возможными историческими путями, а также всю сеть причинно-следственных связей внутри этих путей и между ними.
Но самое важное в причинной инвариантности то, что она подразумевает, что на самом деле граф причинно-следственных связей один и тот же, независимо от того, по какому историческому пути вы идете. И именно поэтому я первоначально назвал это свойство причинно-следственной инвариантностью — потому что в нем говорится, что с таким правилом, причинно-следственные свойства инвариантны по отношению к различным вариантам последовательности, в которой выполняется обновление.
И если еще раз взглянуть на рисунок выше (и пройти еще несколько шагов), можно обнаружить, что для каждого историческом пути причинно-следственный граф, отображающий причинно-следственные связи между событиями, всегда будет иметь вид:
или, мы можем нарисовать его по-другому:
Чтобы лучше понять причинной-следственную инвариантность, полезно рассмотреть еще более простой пример: случай правила BA → AB. Это правило гласит, что каждый раз, когда в строке стоит буква B, за которой следует A, поменяйте местами эти символы. Другими словами, это правило пытается отсортировать строку в алфавитном порядке, по два символа за раз.
Допустим, мы начнем с BBBAAA. А вот граф ветвлений, показывающий все, что может произойти в соответствии с этим правилом:
Существует множество различных путей, по которым можно идти, в зависимости от того, к какому BA в строке применяется правило на каждом шаге. Но важно то, что мы видим, что в конце концов все пути сливаются, и мы получаем единственный конечный результат: отсортированную строку AAABBB. И тот факт, что мы получаем этот единственный конечный результат, является следствием причинно-следственной инвариантности правила. В таком случае, когда есть конечный результат (а не просто постоянное развитие), причинно-следственная инвариантность гласит: не имеет значения, в каком порядке вы выполняете все обновления, результат, который вы получите, всегда будет одним и тем же.
Я ввел причинно-следственную инвариантность в контексте попытки найти модель фундаментальной физики — и понял, что она будет иметь решающее значение как для теории относительности, так и для квантовой механики. Но на самом деле то, что равносильно причинно-следственной инвариантности, было замечено и раньше в различных формах математики, математической логики и информатики. (Его наиболее распространенное название — «ассоциативность», хотя есть некоторые технические различия между этим и тем, что я называю причинно-следственной инвариантностью.)
Подумайте о раскрытии алгебраического выражения, например
Еще один пример. Представьте, что у вас есть рекурсивное определение, скажем:
Те, кто имеет опыт работы с параллельными или асинхронными алгоритмами, знают, что очень важно, имеет ли этот алгоритм причинно-следственную инвариантность. Потому что это означает, что можно делать что-то в любом порядке — скажем, в глубину, в ширину или что-то еще — и всегда получишь один и тот же ответ. То же самое происходит в нашем небольшом алгоритме сортировки выше.
Хорошо, но теперь вернемся к причинно-следственным связям. Вот система ветвлений для процесса сортировки с аннотациями всех причинно-следственных связей для всех путей:
Это беспорядок. Но поскольку существует причинно-следственная инвариантность, мы знаем кое-что очень важное: это просто множество копий одного и того же причинно-следственного графа — простой сетки:
Между прочим — как видно из рисунка — перекрестные связи между этими копиями нетривиальны, и позже мы увидим, что они связаны с глубокими отношениями между теорией относительности и квантовой механикой, которые, вероятно, проявляются в физике черных дыр. Но мы вернемся к этому позже…
Предполагается, что каждый другой способ применения правила сортировки дает один и тот же причинно-следственный граф. Итак, вот один пример того, как мы можем применить правило, начиная с конкретной начальной строки:
А теперь покажем граф причинно-следственных связей. И мы видим, что это просто сетка:
Вот еще три возможных последовательности обновлений:
Теперь мы видим причинно-следственную инвариантность в действии: хотя разные обновления происходят в разное время, граф причинно-следственных связей между событиями обновления всегда один и тот же. И, увидев это — в контексте очень простого примера, — мы готовы поговорить о специальной теории относительности.
Как правило, занимаясь наукой, вы представляете, как проводите эксперимент над системой, но вы — как «наблюдатель» — находитесь вне системы. Конечно, если вы думаете о моделировании всей вселенной и всего в ней существующего, это не совсем разумный способ думать о системе. Потому что наблюдатель неизбежно является частью Вселенной, и поэтому его нужно моделировать, как и все остальное.
В наших моделях это означает, что «разум наблюдателя», как и все остальное во Вселенной, должен обновляться через серию событий. Для наблюдателя нет абсолютного способа узнать, что происходит во Вселенной. Все, что они когда-либо испытывали, — это серия событий обновления, на которые могут повлиять события обновления, происходящие где-то в другом месте вселенной. Или, говоря иначе, все, что наблюдатель может когда-либо наблюдать, — это сеть причинно-следственных связей между событиями — или причинно-следственный граф, о котором мы говорили.
В качестве игрушечной модели давайте посмотрим на наше правило BA → AB для строк. Можно представить себе, что строка лежит в пространстве. Но единственное, что видит наш наблюдатель — это причинно-следственный граф, который представляет причинно-следственные связи между событиями. А для системы BA → AB это можно сделать следующим образом:
Но теперь давайте подумаем о том, как наблюдатели могут «ощутить» этот причинно-следственный граф. Наблюдатель сам по себе обновляется посредством некоторой последовательности событий. Но даже несмотря на то, что это «действительно то, что происходит», чтобы понять это, мы можем представить, что наши наблюдатели создают внутренние «ментальные» модели того, что они видят. И для таких наблюдателей, как мы, довольно естественно просто сказать: «Один набор событий происходит по всей вселенной, затем другой и так далее». И мы можем перевести это на человеческий, сказав, что мы представляем серию «моментов» во времени, когда вещи происходят «одновременно» по всей вселенной — по крайней мере, с некоторыми соглашениями для определения того, что мы подразумеваем под одновременным. (И да, эти идеи сходны с идеями Эйнштейна в то время, когда он создал специальную теорию относительности.)
Вот возможный способ сделать это:
Это можно описать как «слоение» причинно-следственного графа. Мы делим причинно-следственный граф на срезы. И каждый срез наши наблюдатели могут рассматривать как «последовательный момент времени».
Важно отметить, что есть некоторые ограничения на выбор слоения. Причинно-следственный граф определяет, какое событие должно произойти до чего. И если у наших наблюдателей будет шанс осмыслить мир, лучше всего, если их представление о ходе времени согласуется с тем, что говорит причинно-следственный граф. Так, например, это слоение не будет работать — потому что оно говорит, что время, которое мы назначаем событиям, не согласуется с порядком, в котором они должны произойти:
Какой фактический порядок обновления событий подразумевает приведенное выше слоение? По сути, как можно больше событий должно происходить одновременно (то есть в одном и том же срезе слоения), как на этой картинке:
Теперь давайте свяжем это с физикой. Слоение, которое у нас было выше, относится к наблюдателям, которые каким-то образом «неподвижны по отношению ко Вселенной» («космологическая система покоя»). Можно представить себе, что с течением времени события, которые переживает конкретный наблюдатель, помещаются в столбец, идущий вертикально вниз по графу:
Но теперь давайте подумаем о наблюдателе, который равномерно движется в пространстве. У них будет другая последовательность событий, например такая:
А это значит, что слоение, которое они построят естественным образом, будет другим. «Со стороны» мы можем нарисовать это на причинно-следственном графе следующим образом:
Но для наблюдателя каждый срез представляет собой последовательный момент времени. И у них нет никакого способа узнать, как был нарисован причинно-следственный граф. Таким образом, они построят свою собственную версию с горизонтальными срезами:
Теперь мы видим чисто геометрический факт: чтобы произвести эту перестановку, сохраняя при этом базовую структуру (а здесь и углы) причинно-следственного графа, каждый момент времени нужно отбирать меньше событий в причинном графе c коэффициэнтом
Если вы что-то понимаете в специальной теории относительности, то вы узнаете многое из этого. То, что мы называем слоениями, соответствует «системам отсчета» теории относительности. И наши слоения, представляющие движение, являются стандартными инерциальными системами отсчета специальной теории относительности.
Здесь есть особенно интересный момент: мы можем интерпретировать все это обсуждение слоений и систем отсчета с точки зрения реальных правил эволюции нашей базовой системы. Итак, вот эволюция нашей системы сортировки строк в инерциальной системе отсчета, соответствующей наблюдателю, движущемуся с определенной скоростью:
Из-за причинно-следственной инвариантности не имеет значения, что мы находимся в другой системе отсчета — причинно-следственный граф для системы (и способ, которым он в конечном итоге сортирует строку) точно такой же.
Основная идея специальной теории относительности состоит в том, что законы физики работают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Но почему это должно быть правдой? Что ж, в наших системах есть ответ: это следствие причинно-следственной инвариантности основных правил. Другими словами, из свойства причинно-следственной инвариантности мы можем вывести относительность.
Обычно в физике относительность вводится путем установления математической структуры пространства-времени. Но в наших моделях мы не делаем ничего подобного, и на самом деле пространство и время вовсе не одно и то же. Теперь мы видим, что из-за причинно-следственной инвариантности в наших моделях появляется относительность со всеми связями между пространством и временем, которые она подразумевает.
Так, например, если мы посмотрим на изображение нашей системы сортировки строк выше, мы увидим релятивистское замедление времени. Фактически, из-за выбранного нами слоения время течет медленнее. Или другими словами, в стремлении ускорить выборку пространства наш наблюдатель испытывает более медленное обновление системы во времени.
Скорость света c в нашей игрушечной системе определяется максимальной скоростью, с которой может распространяться информация, которая определяется правилом, а в случае этого правила — один символ за шаг. Таким образом, мы можем сказать, что наше слоение соответствует скорости равной 0.3 скорости света. Но теперь мы можем посмотреть на формулу замедления времени для нашего графа
Кстати, если мы представим, что пытаемся заставить нашего наблюдателя двигаться «быстрее света», мы увидим, что это не сработает. Потому что на нашей картинке нет способа наклонить слоение более чем на 45 ° и при этом сохранить причинно-следственные связи.
Итак, из нашей игрушечной модели мы можем вывести специальную теорию относительности. Но вот в чем дело: этот вывод работает не только в игрушечной модели — он применим к любому правилу, имеющему причинно-следственную инвариантность. Таким образом, даже если мы имеем дело с гиперграфами, а не со строками, и существует правило, имеющее причинно-следственную инвариантность, то (с различными оговорками, в основном о возможной cлучайности в причинно-следственном графе) оно будет демонстрировать релятивистскую инвариантность, а основанная на нем физика будет следовать специальной теории относительности.
В нашей модели все во Вселенной — пространство, материя и т.д. — должно быть представлено свойствами нашего развивающегося гиперграфа. Есть ли в этом гиперграфе масса и энергия?
Хотя это широко распространенная концепция в современной физике, я никогда не считал энергию чем-то фундаментальным. Это просто атрибут, который может быть у объектов (атомов, фотонов, чего угодно). Я никогда не думал об энергии и массе как о чем-то, что можно абстрактно идентифицировать в самой структуре вселенной.
Поэтому для меня стало большим сюрпризом наше недавнее открытие, что на самом деле в нашей модели есть кое-что, на что мы можем показать пальцем и сказать «Это энергия!». Техническое утверждение: энергия соответствует потоку причинно-следственных ребер через пространственные гиперповерхности. И, кстати, импульс соответствует потоку причинно-следственных ребер через временные гиперповерхности.
Что это все означает? Во-первых, что такое пространственная гиперповерхность? Это стандартное понятие в общей теории относительности, которому есть прямая аналогия в наших моделях. Это то, что образует срез в нашем слоении. Мы можем выделить два вида направлений: пространственное и временное.
Пространственное направление предполагает простое перемещение в пространстве, и это направление, в котором всегда можно повернуть вспять и вернуться. Временное направление — это направление, которое предполагает также движение во времени, куда нельзя вернуться. Мы можем отметить пространственные гиперповерхности сплошной линией, а временные прерывистой в причинном графе нашей игрушечной модели:
(Их можно назвать «поверхностями», хотя «поверхности» обычно считаются 2-мерными, а наша 3-пространственная + 1-мерная вселенная, эти слои слоения являются 3-мерными: отсюда и термин «гиперповерхности».)
Теперь давайте еще раз взглянем на картинку. «Причинно-следственные ребра — это причинно-следственные связи между событиями, показанные на рисунке в виде линий, соединяющих события. Поэтому, когда мы говорим о потоке причинно-следственных ребер через пространственные гиперповерхности, мы говорим о количестве ребер, которые проходят через горизонтальные срезы на изображениях.
В игрушечной модели это увидеть несложно. Но вот гораздо более сложный причинно-следственный граф из другой довольно простой модели:
Если мы начертим слоение на этом графе (тем самым определяя нашу систему отсчета), мы можем начать подсчет количества причинно-следственных ребер, проходящих вниз через последовательные пространственные срезы:
Мы также можем посмотреть, сколько причинно-следственных ребер проходит «вбок» через временные гиперповерхности:
Почему мы думаем, что эти потоки ребер соответствуют энергии и импульсу? Представьте, что произойдет, если мы изменим слоение, скажем, наклоним его, чтобы оно соответствовало движению с некоторой скоростью, как мы делали это в предыдущем разделе. Мы выясняем, что наши потоки причинно-следственных ребер соотносятся со скоростью так же, как расстояние и время в предыдущем разделе.
Релятивистская механика говорит о том, что энергия должна соотносится со скоростью точно так же, как время со скоростью, а импульс с расстоянием. Теперь нам известна причина. Это фундаментальное следствие всей нашей системы и причинно-следственной инвариантности. В традиционной физике часто говорят, что положение в пространстве — это переменная, сопряженная с импульсом, а энергия сопряжена со временем. И это задано в математической структуре теории. Но здесь мы не просто объявляем это как аксиому. Это следствие само собой вытекает из нашей модели.
А это значит, что мы можем узнать гораздо больше. Например, мы можем задаться вопросом, что такое «ноль энергии». В конце концов, если мы посмотрим на один из наших причинно-следственных графов, многие причинно-следственные ребра на самом деле просто идут на «поддержание структуры пространства». Так что, если в каком-то смысле пространство однородно, с ним неизбежно связан однородный «фоновый поток» причинно-следственных ребер. И то, что мы считаем энергией, соответствует колебаниям этого потока вокруг его фонового значения.
Кстати, стоит упомянуть, чему соответствует поток причинно-следственных ребер. Каждое причинно-следственное ребро представляет собой связь между событиями, которая «переносится» некоторым элементом в пространственном гиперграфе. Таким образом, поток причинно-следственных ребер — это, по сути, передача активности (то есть событий) либо во времени (то есть через пространственные гиперповерхности), либо в пространстве (то есть через временные гиперповерхности). И мы можем сказать, что энергия связана с активностью в гиперграфе, который распространяет информацию во времени, в то время как импульс связан с активностью, которая распространяет информацию в пространстве.
У наших причинно-следственных графов существует одна фундаментальная особенность, о которой мы еще не упомянули, — она связана с распространением информации. Начните с любой точки (с любого события) причинно-следственного графа. Затем проследите причинно-следственные связи этого события. У вас получится что-то вроде конуса (здесь только в 2D):
Он соответствует такому понятию физики, как световой конус. Предположим, мы нарисовали наш граф так, что события каким-то образом расположены в пространстве, тогда световой конус покажет, как информация (передаваемая светом) может распространяться в пространстве со временем.
Когда причинно-следственный граф усложняется, усложняются и световые конусы. Мы обсудим связь этого явления с черными дырами позже. Пока мы можем просто сказать, что в нашем причинно-следственном графе есть конусы, и, по сути, угол этих конусов представляет собой максимальную скорость распространения информации в системе, которую мы можем отождествить с физической скоростью света.
Фактически, мы можем не только увидеть световые конусы в нашем причинно-следственном графе: в некотором смысле мы можем думать обо всем нашем причинно-следственном графе как о большом количестве «элементарных световых конусов», связанных вместе. И, как мы уже упоминали, большая часть построенной структуры обязательно идет на «поддержание структуры пространства».
Но давайте повнимательнее посмотрим на наши световые конусы. На их границах есть причинно-следственные ребра, которые действительно соответствуют распространению со скоростью света — и которые, с точки зрения лежащего в основе гиперграфа, соответствуют событиям, которые «достигают» и «захватывают» новые элементы так быстро, как возможно. Но как насчет вертикальных причинно-следственных ребер? Эти ребра связаны с событиями, которые в некотором смысле повторно используют элементы в гиперграфе, без привлечения новых.
И похоже, что эти причинно-следственные ребра имеют важное толкование: они связаны с массой (или, точнее, массой покоя). Итак, полный поток причинных ребер через пространственные гиперповерхности соответствует энергии. А поток причинно-следственных связей во временном направлении соответствует массе покоя. Мы можем увидеть, что произойдет, если мы немного наклоним нашу систему отсчета, что соответствует скорости
Итак, из этих формул мы можем видеть, что, просто исследуя причинно-следственные графы (и, да, с учетом причинно-следственной инвариантности и целого ряда подробных математических ограничений, которые мы здесь не обсуждаем), нам удалось вывести основной (и известный) факт о соотношении энергии и массы:
В стандартных теориях физики это отношение выглядит скорее аксиомой, чем чем-то, что можно вывести. Но в нашей модели это не так.
Ранее мы говорили о том, как в наших моделях возникает искривление пространства. Но тогда мы просто говорили о «пустом пространстве». Теперь мы можем вернуться и поговорить о том, как кривизна взаимодействует с массой и энергией в пространстве.
Выше мы говорили о построении сферических шаров, начиная с некоторой точки гиперграфа, а затем следуя всем возможным последовательностям r ребер. Но теперь мы можем сделать что-то прямо аналогичное в графе причин и следствий: начать с некоторой точки и проследить возможные последовательности t связей. Мы получаем «объемы световых конусов».
Если пространство d-мерно, то этот объем будет приближенно расти как
Мы также знаем кое-что еще о том, что находится внутри световых конусов: существуют не только «фоновые связи», поддерживающие структуру пространства, но также «дополнительные» причинно-следственные связи, связанные с энергией, импульсом и массой. И мы можем отождествить их плотность с так называемым тензором энергии-импульса T(uv). Таким образом, в итоге у нас есть два вклада в «объемы» наших световых конусов: один от «чистой кривизны» и один от энергии-импульса.
Опять же, здесь нам понадобится немного математики. Но главное — думать о пределе, когда мы смотрим на очень большой причинно-следственный граф. Какое уравнение должно быть верным, чтобы иметь d-мерное пространство, а не что-то более необычное? Должно выполняться следующее уравнение:
Это в точности уравнение Эйнштейна для кривизны пространства, в котором присутствует материя с определенной энергией и импульсом. Здесь мы упускаем из виду многие детали. Но все же, на мой взгляд, это весьма впечатляюще: исходя из базовой структуры наших очень простых моделей, мы можем получить фундаментальный результат: уравнение, которое более ста лет прошло все испытания при описании гравитации.
Особо отмечу, что в только что приведенном уравнении нет так называемого космологического члена. И это связано с вопросом о том, что такое ноль энергии и какие свойства гиперграфа имеют прямое отношение к «поддержанию пространства», а какие — к материи в этом пространстве.
В современной физике ожидается, что даже в вакууме на самом деле существует формально бесконечная плотность пар виртуальных частиц. По сути, постоянно рождаются пары частиц и античастиц, которые быстро аннигилируют, но которые в совокупности создают огромную плотность энергии. Мы обсудим, как это связано с квантовой механикой позже. Но пока просто напомним, что частицы (например, электроны) в наших моделях соответствуют локальным стабильным структурам в гиперграфе.
Как «поддерживается пространство»? В основном, это происходит посредством всевозможных, казалось бы, случайных событий обновления в гиперграфе. Но в современной физике (или, в частности, в квантовой теории поля) мы должны описывать все в терминах (виртуальных) частиц. Поэтому, если мы попытаемся сделать это со всеми этими случайными событиями обновления, неудивительно, что мы в конечном итоге скажем, что происходит бесконечное множество событий. (Да, это можно сделать гораздо точнее; я просто даю здесь общую схему.)
Но тогда возникает непосредственная проблема: мы говорим, что существует формально бесконечная — или, по крайней мере, огромная — плотность энергии, которая должна существовать повсюду во Вселенной. Если мы затем посмотрим на уравнение Эйнштейна, мы сделаем вывод, что такая плотность должна производить достаточную кривизну, чтобы свернуть Вселенную в крошечный шар.
Один из способов найти выход из этого парадокса — ввести так называемый космологический член, а затем постулировать, что этот член имеет такое значение, чтобы можно было принять за нулевую плотность энергии от виртуальных частиц. Это определенно не лучшее решение.
В наших моделях все по-другому. То, что в нашей модели соответствует виртуальным частицам, на самом деле «создает пространство» и поддерживает его структуру. Конечно, все детали зависят от конкретного основного правила. Но больше нет большой загадки относительно того, почему «энергия вакуума» в основном не разрушает нашу Вселенную — это потому, что она создает нашу Вселенную.
Одно из главных предсказаний общей теории относительности — существование черных дыр. Существуют ли они в наших моделях? Конечно же да! Определяющей чертой черной дыры является наличие горизонта событий: границы, которую световые сигналы не могут пересечь, и где причинно-следственная связь фактически нарушена.
В наших моделях мы можем заметить, как это происходит в причинно-следственном графе. Вот пример:
Вначале все причинно связано. Но в какой-то момент причинно-следственный граф расщепляется — и появляется горизонт событий. События, происходящие в одной части графа, не могут повлиять на другие. Вот как область Вселенной может «причинно отколоться», образуя нечто вроде черной дыры.
Но на самом деле в наших моделях «отрыв» может быть еще более экстремальным. Не только причинно-следственный граф может разделиться — пространственный гиперграф может отбрасывать отдельные части, каждая из которых, по сути, образует целую «отдельную вселенную»:
Кстати, интересно посмотреть, что происходит со слоями, которые видят наблюдатели, при существовании горизонта событий. Причинно-следственная инвариантность говорит, что расходящиеся пути в причинном графе всегда должны со временем сливаться. Но если пути идут в разные несвязанные части причинного графа, этого никогда не произойдет. Как это влияет на наблюдателей? Ну, по сути, им приходится «останавливать время». У них должно быть слоение, в котором последовательные временные отрезки просто накапливаются и никогда не входят в разъединенные части.
Это похоже на то, что происходит в общей теории относительности. Наблюдателю, находящемуся далеко от черной дыры, будет казаться, что нужно бесконечное время, чтобы что-нибудь упало в нее. Пока это просто феномен, связанный со структурой пространства. Но позже мы увидим, что это также прямой аналог чего-то совершенно другого: процесса измерения в квантовой механике.
Возвращаясь к гравитации: мы можем задавать вопросы не только о горизонте событий, но и о сингулярностях в пространстве-времени. В наших моделях это места, где множество путей в причинном графе сходятся в одну точку. В наших моделях мы можем сразу же изучить такие вопросы, как: всегда ли горизонт событий связан с какой-либо сингулярностью («гипотеза космической цензуры»).
Мы можем подумать о других странных феноменах из общей теории относительности. Например, есть замкнутые временные кривые, которые иногда рассматриваются как позволяющие путешествовать во времени. В наших моделях замкнутые временные кривые несовместимы с причинно-следственной инвариантностью. Но мы, конечно, можем изобрести правила, которые их порождают. Вот пример:
В этой системе ветвлений мы начинаем с одного «начального» состояния. Но по мере продвижения вперед мы можем войти в цикл, в котором мы неоднократно посещаем одно и то же состояние. И этот цикл также виден в причинно-следственном графе. Мы думаем, что «идем вперед во времени». Но на самом деле мы просто зацикливаемся, неоднократно возвращаясь в одно и то же состояние. И если бы мы попытались найти слоение, в котором мы могли бы описать время как всегда идущее, мы бы просто не смогли этого сделать.
В нашей модели Вселенная может начаться с крошечного гиперграфа — возможно, с одной петли. Но затем — по мере применения преобразовательного правила — она постепенно расширяется. При некоторых особенно простых правилах общий размер гиперграфа должен просто равномерно увеличиваться, при других он может колебаться.
Но даже если размер гиперграфа постоянно увеличивается, мы можем этого не замечать. Может получиться так, что практически все, что мы видим, тоже расширяется — так что в действительности гранулярность пространства становится все тоньше и тоньше. Это было бы интересным разрешением вековых споров о том, является ли Вселенная дискретной или непрерывной. Да, она структурно дискретна, но масштаб дискретности по отношению к нашему масштабу постоянно становится все меньше и меньше. И если это происходит достаточно быстро, мы никогда не сможем «увидеть дискретность», потому что каждый раз, когда мы пытаемся ее измерить, Вселенная фактически разделяется еще до того, как мы получим результат. (Каким-то образом это было бы похоже на окончательное доказательство эпсилон-дельта исчисления: вы бросаете вызов Вселенной с помощью эпсилон-дельты, и прежде чем вы сможете получить результат, Вселенная уменьшает дельту.)
Есть и другие возможности. Весь гиперграф Вселенной может постоянно расширяться, но части постоянно «отламываются», образуя черные дыры разных размеров и позволяя «главному компоненту» Вселенной изменяться в размере.
Но независимо от того, как такое расширение работает в нашей Вселенной сегодня, ясно, что если Вселенная началась с одной петли, ей пришлось бы сильно расширяться, по крайней мере, на начальном этапе. И здесь есть интересная возможность, имеющая отношение к пониманию космологии.
Наша нынешняя Вселенная представляет собой трехмерное пространство, но в наших моделях не существует причин, по которым ранняя Вселенная обязательно была такой же. В наших моделях могут происходить самые разные вещи:
В первом примере разные части пространства разделяются на несообщающиеся ветви. Во втором примере у нас есть что-то вроде обыкновенного двухмерного пространства. А в третьем примере пространство в некотором смысле очень сильно связано. Если вычислить объем сферического шара, он будет расти не как
Если мы посмотрим на причинно-следственный граф, мы увидим, что вы можете «путешествовать повсюду в пространстве» или очень быстро влиять на каждое событие. Как будто скорость света бесконечна. Но на самом деле это потому, что пространство фактически бесконечномерно.
В современной космологии остро стоит вопрос о том, как разные части ранней Вселенной умудрялись «общаться» друг с другом, чтобы сгладить возмущения. Ответ становится очевиден, если предположить, что Вселенная в начале была фактически бесконечномерной и только позже «расслабилась» до конечномерной.
Что во Вселенной сегодня является отражением событий, которые произошли на самом раннем этапе ее истории? Тот факт, что наши модели имеют довольно хаотичное поведение, означает, что большинство характеристик начальных условий или очень ранних стадий Вселенной будут быстро «зашифрованы», и их невозможно будет восстановить.
Но вполне возможно, что что-то вроде нарушения симметрии, связанного с первыми несколькими гиперграфами, может каким-то образом выжить. И это предполагает возможность того, что что-то вроде угловой структуры космического микроволнового фона или очень крупномасштабного распределения галактик может отражать дискретную структуру очень ранней Вселенной. Или, другими словами, вполне возможно, основное правило нашей Вселенной нарисовано по всему небу. Я считаю эту возможность крайне маловероятной, но, безусловно, было бы замечательно, если бы Вселенная «самодокументировалась» таким образом.
Мы несколько раз говорили о таких частицах, как электроны. В современных физических теориях предполагается, что различные истинно элементарные частицы — кварки, лептоны (электрон, мюон, нейтрино и т. д.), калибровочные бозоны, бозоны Хиггса — по сути являются точечными частицами нулевого размера. В наших моделях это работает не так. По сути, частицы представляют собой «маленькие кусочки пространства», обладающие различными особыми свойствами.
Я предполагаю, что точный список существующих частиц зависит от конкретного основного преобразовательного правила. В клеточных автоматах, например, мы можем видеть, как возникают сложные наборы возможных локализованных структур:
В наших гиперграфах картина неизбежно будет несколько иной. Основным свойством каждой частицы будет некоторая локально стабильная структура в гиперграфе (простая аналогия — кусок «непланарности» в планарном графе). И тогда с частицей будет связано множество причинно-следственных ребер, определяющих ее конкретную энергию и импульс.
Тем не менее, основная характеристика частиц, по-видимому, будет определять такие вещи, как их заряд, квантовые числа и, возможно, спин — и тот факт, что эти вещи наблюдаются в дискретных единицах, может отражать тот факт, что только небольшой кусок гиперграфа участвует в их определении.
Довольно трудно понять, каков реальный масштаб дискретности пространства в наших моделях. Но возможная (хотя и потенциально ненадежная) оценка такова, что «элементарная длина» составляет около
Также наши модели предполагают существование «кванта массы» — дискретной величины, которой все массы, например, частицы, кратны. При нашей оценке элементарной длины этот квант массы был бы небольшим, возможно, в
И здесь возникает интригующая гипотеза. Возможно, частицы, такие как электроны, о которых мы в настоящее время знаем, являются «большими». (По нашим оценкам, в электроне должны быть элементы гиперграфа.) И, возможно, есть гораздо меньшие и гораздо более легкие частицы. По сравнению с частицами, которые мы знаем в настоящее время, в таких частицах было бы немного элементов гиперграфа, поэтому я называю их «олигонами» (от греческого слова ὀλιγος, означающего «несколько»).
Какими свойствами будут обладать эти олигоны? Вероятно, они очень-очень слабо взаимодействуют с другими частицами во Вселенной. Скорее всего, в очень ранней Вселенной было произведено множество олигонов, но из-за их очень слабого взаимодействия они очень скоро «выпали из теплового равновесия» и остались в большом количестве в виде реликвий — с энергиями, которые будут постепенно уменьшаться по мере роста.
Так где же сейчас могут быть олигоны? Даже если другие их взаимодействия, вероятно, будут исключительно слабыми, они все равно будут подвержены гравитации. И если их энергия окажется достаточно низкой, они будут собираться в гравитационных колодцах по всей вселенной, то есть внутри и вокруг галактик.
И это особенно интересно в свете того, что сейчас существует большая загадка относительно количества наблюдаемой массы в галактиках. Похоже, что существует много «темной материи», которую мы не видим, но которая имеет гравитационные эффекты. Что ж, возможно это олигоны. Может быть, даже много разных видов олигонов: целый мир теней из гораздо более легких частиц.
«Но как вы получите квантовую механику?» — физики всегда спрашивали меня это, когда я описывал им ранние версии своих моделей. Во многих отношениях квантовая механика — это вершина существующей физики. Тем не менее, в ней всегда присутствовало определенное «от вас не ожидается, что вы поймете это» в сочетании с «просто верьте математическим формулам». И да, математические формулы позволяют нам производить расчеты. Эти расчеты часто бывают очень сложными — такими сложными, что именно они заставили меня начать использовать компьютеры для математических вычислений 45 лет назад.
Наше обычное впечатление о мире таково, что происходят определенные события. До квантовой механики классическая физика обычно фиксировала это в законах — обычно в уравнениях — которые рассказывали, что конкретно будет делать система. Но в квантовой механике предполагается, что любая конкретная система выполняет множество разных вещей «параллельно», а мы просто наблюдаем вероятные случаи этих возможностей.
О модели, в которой есть определенные правила, можно предположить, что она никогда не сможет воспроизвести квантовую механику. Но на самом деле, в наших моделях квантовая механика не просто возможна, она абсолютно неизбежна. И, как мы увидим позже, удивительно прекрасно то, что квантовая механика в своей сути оказывается очень близка к теории относительности.
Так как это все работает? Вернемся к тому, что мы обсуждали, когда впервые заговорили о времени. В наших моделях есть определенное правило для обновлений, которые необходимо внести в наши гиперграфы, например:
Но если у нас есть такой гиперграф:
обычно есть много мест, где можно применить это правило. Итак, какое обновление мы должны применить в первую очередь? Модель нам ничего не говорит об этом. Но давайте просто представим все возможности. Правило сообщает нам, что все они представляют из себя — и мы можем представить их (как мы обсуждали выше) как ветвистую систему — здесь это проиллюстрировано с использованием более простого случая строк, а не гиперграфов:
Каждый узел на этом графе представляет собой полное состояние нашей системы (гиперграф в наших реальных моделях). И каждый узел соединен стрелками с состоянием или состояниями, которые можно получить, применив к нему одно обновление.
Если бы наша модель работала как классическая физика, мы бы ожидали, что она будет прогрессировать во времени из одного состояния в другое, скажем так:
Но структура наших моделей не оставляет нам выбора, кроме как рассматривать системы ветвлений. Форма всей системы ветвлений полностью определяется правилами. Но в способе, который уже очень напоминает стандартный математический аппарат квантовой механики, система ветвлений определяет множество различных возможных путей истории.
Если всегда есть все эти различные возможные пути истории, как в мире происходят определенные вещи? Это было главной загадкой квантовой механики на протяжении столетия. Оказывается, если просто использовать квантовую механику для вычислений, ответ в принципе не имеет значения. Но если кто-то хочет по-настоящему понять, что происходит в квантовой механике, это определенно имеет значение.
И что самое интересное, в наших моделях есть очевидное решение. Оно основано на том же самом явлении — причинно-следственной инвариантности, являющаяся причиной относительности.
Вот примерно как это работает. Ключевой момент — думать о том, что наблюдатель, который сам является частью системы ветвлений, сделает вывод о мире. Да, есть разные возможные пути истории. Но — как и в нашем обсуждении теории относительности — единственный их аспект, который когда-либо осознает наблюдатель, — это причинно-следственные связи между событиями. Дело в том, что даже если «извне» пути выглядят разными, причинная инвариантность подразумевает, что сеть отношений между событиями (а это все, что имеет значение, когда человек находится внутри системы) всегда будет точно такой же.
Другими словами, как и в случае с относительностью, даже несмотря на то, что извне системы может показаться множество возможных «нитей времени», изнутри причинная инвариантность системы подразумевает, что в конечном счете существует только одна нить времени, или, по сути, одна объективная реальность.
Как все это соотносится с подробным стандартным математическим аппаратом квантовой механики? Это довольно сложные выкладки, но позвольте мне сделать здесь хотя бы несколько заметок на этот счет. (В моем техническом документе есть некоторые подробности; в своей работе Джонатан Горард дал даже больше.)
Состояния в системе ветвлений можно рассматривать как возможные состояния квантовой системы. Но как мы можем охарактеризовать то, как их воспринимают наблюдатели? В частности, о каких состояниях знает наблюдатель и когда? Как и в случае с относительностью, наблюдатель может в некотором смысле выбирать, как они определяют время. Одна из возможностей может заключаться в расслоении системы ветвлений, например так:
В терминах квантовой механики можно сказать, что каждый раз наблюдатель испытывает суперпозицию возможных состояний системы. По прямой аналогии со случаем теории относительности, существует множество различных возможных выборов, которые наблюдатель может сделать относительно того, как определять время, — и каждый из них соответствует разному слоению графа.
Опять же, по аналогии с теорией относительности, мы можем рассматривать эти варианты как различные «системы отсчета квантового наблюдения». Причинно-следственная инвариантность подразумевает, что до тех пор, пока они соблюдают причинно-следственные связи в графе, эти системы отсчета могут быть настроены так, как мы хотим. Говоря об относительности, было полезно иметь просто «наклонные параллельные линии» («инерциальные системы отсчета»), представляющие наблюдателей, которые равномерно перемещаются в пространстве.
Говоря о квантовой механике, можно использовать и другие системы отсчета. В частности, в стандартных терминах квантовой механики принято говорить о «квантовом измерении»: по сути, это акт взятия квантовой системы и определения из нее определенного (по сути классического) результата. Что ж, в нашей модели квантовое измерение в основном соответствует определенной квантовой системе наблюдения.
Вот пример:
Последовательные розовые линии означают то, что наблюдатель считает последовательными моментами времени. Итак, когда все линии сгруппированы ниже состояния ABBABB, это означает, что наблюдатель фактически «замораживает время» для этого состояния. Другими словами, наблюдатель говорит: «Я считаю, что это состояние системы, и я придерживаюсь его». Даже несмотря на то, что в полном графе происходят все виды другой «квантово-механической» эволюции состояний, наблюдатель настроил свою квантовую систему наблюдения так, что он получает только конкретное, определенное, классическое состояние в качестве результата.
Могут ли наблюдатели делать это постоянно? Что ж, это зависит от структуры графа, которая зависит от лежащего в ее основе правила. В приведенном выше примере мы создали слоение (то есть квантовую систему наблюдения), которая наилучшим образом выполняет это правило во «время замораживания» для состояния ABBABB. Но как долго можно поддерживать это «поле искажения реальности»?
Единственный способ сохранить целостность слоения в приведенном выше графе — это постепенно расширять его с течением времени. Другими словами, чтобы время оставалось замороженным, все больше и больше квантовых состояний необходимо втягивать в «поле искажения реальности», и поэтому в системе становится все меньше и меньше когерентности.
Картинка выше относится к очень тривиальному правилу. Вот соответствующее изображение для более реалистичного случая:
И здесь мы видим, что даже в этом все еще невероятно упрощенном случае структура многосторонней системы заставит наблюдателя построить все более и более сложное слоение, если он хочет успешно заморозить время. Измерение в квантовой механике всегда сопровождалось несколько неудобной математической идеализацией — и теперь это дает нам представление о том, что происходит на самом деле. (Ситуация в конечном итоге очень похожа на проблему расшифровки «зашифрованных» термодинамических начальных условий, о которой я упоминал выше.)
Квантовое измерение — это то, что воспринимает наблюдатель. Но если вы, например, пытаетесь построить квантовый компьютер, вопрос заключается не только в том, чтобы кубит воспринимался как поддерживаемый в определенном состоянии, его действительно нужно поддерживать в этом состоянии. А чтобы это произошло, нам нужно остановить время для этого кубита. Вот очень упрощенный пример того, как это может происходить в графе ветвлений:
Все эти разговоры о «замораживании времени» могут показаться странными и не похожими на все, о чем обычно говорят в физике. Но на самом деле, связь есть: замораживание времени, о котором мы здесь говорим, можно рассматривать как происходящее, потому что в пространстве квантовых ветвлений у нас есть аналог черной дыры в физическом пространстве.
У нас есть место, куда вещи попадают и застревают там на веки. Но это еще не все. Если вы являетесь наблюдателем вдали от черной дыры, то вы никогда не увидите, как что-либо упадет в черную дыру за конечное время (поэтому черные дыры иногда называют «замороженными звездами»). И причина этого как раз в том, что (согласно математике) время застыло на горизонте событий черной дыры. Другими словами, чтобы успешно создать кубит, вы должны изолировать его в квантовом пространстве так же, как частицы изолированы в физическом пространстве из-за горизонта событий черной дыры.
Общая теория относительности и квантовая механика — две великие фундаментальные теории современной физики. В прошлом мы часто не могли соединить их вместе. Одним из прекрасных результатов нашего проекта стало осознание того, что на каком-то глубоком уровне общая теория относительности и квантовая механика фактически являются одной и той же идеей. Это ясно только в контексте наших моделей. Обе теории являются следствиями причинно-следственной инвариантности, просто применяемыми в разных ситуациях.
Вспомните наше обсуждение причинно-следственных графов в контексте теории относительности. Мы нарисовали слоения и сказали, что если мы посмотрим на определенный срез, он расскажет нам о расположении системы в пространстве в том, что мы считаем определенным моментом времени. Итак, теперь давайте посмотрим на графы ветвлений. В предыдущем разделе мы видели, что в квантовой механике нас интересуют их слоения. Но если мы посмотрим на конкретный срез одного из этих слоений, что он представляет из себя? В слоении есть несколько состояний. И оказывается, что мы можем думать о них как о расположенных в абстрактном виде пространства, которое мы называем «пространством ветвлений».
Чтобы понять это пространство, мы должны иметь способ сказать, что рядом с чем. Граф ветвлений позволяет нам сделать это. Взгляните:
На каждом срезе слоения нарисуем граф, в котором мы соединяем два состояния всякий раз, когда они оба являются частью одной и той же «пары ветвлений», так что, как здесь AA и ABB, они оба происходят из одного и того же состояния на срезе. Вот что мы получаем, делая это для последовательных срезов:
Мы называем эти графы «графами ветвлений». Мы можем думать о них как о корреляции — или запутанности — квантовых состояний. Два соседних состояния на графе сильно запутаны; те, что подальше, меньше. И мы можем представить, что по мере развития нашей системы мы будем получать все более и более крупные ветвистые графы, пока в конечном итоге, как и в случае с нашими исходными гиперграфами, мы не сможем думать об этих графах как о чем-то вроде непрерывного пространства.
На что похоже это пространство? Для наших исходных гиперграфов мы представили, что получим что-то вроде обычного физического пространства (скажем, близкого к трехмерному евклидову пространству). Но пространство ветвлений — это нечто более абстрактное и гораздо более необычное. И оно даже не является конечномерным. Это что-то вроде гильбертова пространства. Но мы все же можем думать о нем математически как о некотором пространстве.
На этом моменте все сильно усложняется. Но позвольте мне попытаться дать вам хотя бы представление о том, как все работает. Вот пример чудесного соответствия: кривизна физического пространства подобна принципу неопределенности квантовой механики. Почему они как-то связаны друг с другом?
Принцип неопределенности гласит, что если вы измеряете, скажем, положение чего-либо, а затем его импульс, вы получите не тот же самый ответ, как если бы вы делали это в обратном порядке. Но теперь подумайте, что происходит, когда вы пытаетесь создать прямоугольник в физическом пространстве, двигаясь сначала в направлении x, затем в направлении y, а затем вы делаете это в обратном порядке. В плоском пространстве вы попадете в то же место. Но в искривленном пространстве это не так:
По сути, принцип неопределенности заключается в том, что вы делаете именно это, но в пространстве ветвлений, а не в физическом. И именно потому, что пространство ветвлений необычно — и, по сути, очень искривлено, — вы получаете принцип неопределенности.
Хорошо, может возникнуть следующий вопрос: каков аналог уравнений Эйнштейна в пространстве ветвлений? И снова открывается удивительная вещь: это интеграл по траекториям — фундаментальная математическая конструкция современной квантовой механики и квантовой теории поля.
Позвольте мне попытаться объяснить. Точно так же, как мы обсуждали геодезические линии как описывающие пути, пройденные через физическое пространство с течением времени, мы можем обсуждать геодезические линии как описывающие пути, пройденные через пространство ветвлений с течением времени. В обоих случаях эти геодезические линии определяются кривизной в соответствующем пространстве. В случае физического пространства мы утверждали, что наличие избыточных причинно-следственных ребер, соответствующих энергии, приведет к тому, что равносильно кривизне пространственного гиперграфа, как описано уравнениями Эйнштейна.
А что насчет пространства ветвлений? Как и в случае с пространственным гиперграфом, мы можем думать о причинно-следственных связях между событиями обновления, которые определяют граф ветвлений. И мы снова можем вообразить себе поток причинно-следственных ребер — теперь не через пространственные гиперповерхности, а через гиперповерхности, подобные ветвям состояний — как соответствующие энергии. И — как и в случае с пространственным гиперграфом — избыток этих причинно-следственных ребер приведет к тому, что создаст искривление в пространстве ветвлений (или, точнее, во «времени-ветвлении» — аналоге пространства-времени). Но эта кривизна затем повлияет на геодезические линии, пересекающие пространство ветвлений.
В общей теории относительности наличие массы (или энергии) вызывает искривление пространства, в результате чего пути геодезических линий поворачиваются, что обычно интерпретируется как действие силы тяжести. Есть аналог в квантовой механике в нашем пространстве ветвлений. Присутствие энергии вызывает искривление в пространстве ветвлений, которое заставляет геодезические пути через пространство ветвлений поворачиваться.
Чему соответствует поворот? По сути, это именно то, о чем говорит интеграл по траекториям. Интеграл по траекториям (стандартный термин квантовой механики) задается в комплексных числах. Но с таким же успехом можно рассматривать его, как поворот на угол. Именно это и происходит с нашими геодезическими линиями в пространстве ветвлений. В интеграле по траекториям есть величина, называемая действием, являющаяся своего рода релятивистским аналогом энергии. Наши потоки причинно-следственных ребер соответствуют действию, и именно они определяют скорость поворота геодезических линий.
Все это прекрасно сочетается. В физическом пространстве у нас есть уравнения Эйнштейна — ядро общей теории относительности. А в пространстве ветвлений мы имеем интеграл по траекториям Фейнмана — ядро современной квантовой механики. А в контексте наших моделей это просто разные грани одной и той же идеи. Это удивительное объединение, которого, я совсем не ожидал. Оно возникло как неизбежное следствие наших простых моделей применения правил к множествам отношений или гиперграфам.
Мы можем думать о движении в физическом пространстве как о процессе исследования новых элементов в пространственном гиперграфе, потенциально подвергающимся их влиянию. Но теперь, когда мы говорим о пространстве ветвлений, разумно спросить, есть ли в нем что-то вроде движения. И ответ — да. Вместо изучения новых элементов в пространственном гиперграфе, мы исследуем новые элементы в графе ветвлений и становимся потенциально подвержены их влиянию.
Есть способ сказать об этом на стандартном языке квантовой механики: по мере того, как мы движемся в пространстве ветвлений, мы фактически «запутываемся» во все большем и большем количестве квантовых состояний.
Давайте продолжим аналогию. В физическом пространстве есть максимальная скорость движения — скорость света c. Так что насчет пространства ветвлений? Что ж, в наших моделях мы видим, что также должна быть максимальная скорость движения в пространстве ветвлений. Или, другими словами, существует максимальная скорость, с которой мы можем связываться с новыми квантовыми состояниями.
В физическом пространстве мы говорим о световых конусах как об областях, на которые может причинно повлиять какое-то событие в определенном месте в пространстве. Таким же образом мы можем говорить о конусах запутывания, которые определяют области в пространстве ветвлений, на которые могут влиять события в некоторой позиции в пространстве ветвлений. И точно так же, как существует причинно-следственный граф, который связывает вместе элементарные световые конусы, есть нечто подобное, связывающее вместе конусы сцепленности.
Этим чем-то похожим является причинно-следственный граф ветвлений: граф, который представляет причинно-следственные связи между всеми событиями, которые могут произойти в любом месте системы ветвлений. Вот пример такого причинно-следственного графа всего для нескольких шагов очень простой системы подстановки строк:
В некотором смысле. причинно-следственный граф является наиболее полным описанием всего, что может повлиять на опыт наблюдателей. Некоторые из описываемых причинно-следственных связей представляют собой пространственные связи; некоторые представляют собой ветвистые связи. Но все они есть. Итак, в некотором смысле ветвистый причинно-следственный граф — это место, где встречаются теория относительности и квантовая механика. Срежьте в одну сторону, и вы увидите отношения в физическом пространстве; срежьте другой путь, и вы увидите отношения в пространстве ветвлений между квантовыми состояниями.
Чтобы понять, как это работает, вот игрушечная версия причинно-следственного графа ветвлений:
Каждая точка — это событие, которое происходит в некотором гиперграфе на некоторой ветви системы. И теперь граф показыает причинно-следственную связь этого события с другими. В этом игрушечном примере есть чисто временные отношения (обозначенные стрелками вниз), в которых в основном какой-то элемент гиперграфа влияет на его будущее «я». Но есть и пространственные, и отношения ветвлений, когда событие затрагивает элементы, которые либо «пространственно» разделены в гиперграфе, либо «ветвисто» разделены в системе ветвлений.
Но при всей этой сложности происходит что-то чудесное. Если основное правило модели имеет причинно-следственную инвариантность, то это подразумевает всевозможные закономерности в причинно-следственном графе ветвлений. Например, все те причинно-следственные графы, которые мы получаем, беря разные срезы времени-ветвления, на самом деле одинаковы, когда мы проецируем их в пространство-время — и это приводит к теории относительности.
Но причинно-следственная инвариантность имеет и другие последствия. Одно из них заключается в том, что должен существовать аналог специальной теории относительности, применимый не к пространству-времени, а к времени-ветвлению. Системы отсчета специальной теории относительности теперь являются нашими квантовыми системами наблюдения. А аналог скорости в физическом пространстве — это скорость запутывания новых квантовых состояний.
Так что насчет такого явления, как релятивистское замедление времени? Есть ли аналог этого для движения в пространстве ветвлений? Вообще-то да, есть. И это оказывается тем, что иногда называют квантовым эффектом Зенона: если многократно измерять квантовую систему достаточно быстро, она не изменится. Это явление подразумевается дополнениями к стандартному аппарату квантовой механики, которые описывают измерения. Но в наших моделях это происходит непосредственно из аналогии между физическим пространством и пространством ветвлений.
Выполнение новых измерений эквивалентно запутыванию в новых квантовых состояниях или перемещению в пространстве ветвлений. В прямой аналогии с тем, что происходит в специальной теории относительности, когда вы приближаетесь к движению с максимальной скоростью, вы неизбежно замедляете выборку во времени — и поэтому вы получаете замедление времени, что означает, что ваша «квантовая эволюция» замедляется.
Итак, есть релятивистские явления в физическом пространстве и квантовые аналоги в пространстве ветвлений. Но в наших моделях все это, по сути, аспекты одного: причинно-следственного графа ветвлений. Так есть ли ситуации, в которых могут смешиваться два вида явлений? Обычно нет: релятивистские явления охватывают большие физические масштабы; квантовые явления имеют тенденцию вовлекать мелкие.
Но одним из примеров экстремальной ситуации, когда они могут смешиваться, являются черные дыры. Я несколько раз упоминал, что формирование горизонта событий вокруг черной дыры связано с разрывом в причинно-следственном графе. Но это еще не все. На самом деле это разъединение существует не только в причинно-следственном графе пространства-времени, но и в полном причинно-следственном графе ветвлений. А это означает, что существует не только обычный причинно-следственный горизонт событий — в физическом пространстве, — но также и «горизонт запутанности» в пространстве ветвлений. И точно так же, как часть пространственного гиперграфа может «отвалиться» в черной дыре, также может отсоединиться часть графа ветвлений.
Что это значит? Есть множество последствий. Одно из них заключается в том, что квантовая информация может быть захвачена внутри горизонта запутанности, даже если она не пересекла причинно-следственный горизонт событий — так что в действительности черная дыра замораживает квантовую информацию «на своей поверхности» (по крайней мере, на ее поверхности в пространстве ветвлений). Это странное явление, подразумеваемое нашими моделями, но, пожалуй, особенно интересно в нем то, что оно во многом согласуется с выводами о черных дырах, сделанными в некоторых из последних работ по физике, посвященных так называемому голографическому принципу в квантовой теории поля и общей теории относительности.
Вот еще один связанный с этим феномен. Если вы пересечете горизонт причинно-следственных событий черной дыры, что вы в конечном итоге будете бесконечно физически удлинены (или «спагеттифицированы») под действием приливных сил. Что ж, нечто подобное происходит, если вы пересекаете горизонт запутанности, но теперь вы будете вытянуты в пространстве ветвлений, а не в физическом. И в наших моделях это в конечном итоге означает, что вы не сможете провести квантовое измерение — так что в некотором смысле как наблюдатель вы не сможете «сформировать классическую картину мира», или, другими словами, выйти за рамки запутанности. На горизонте вы никогда не сможете «прийти к окончательному выводу», например, о том, упало ли что-то в черную дыру или нет.
Скорость света c — фундаментальная физическая константа, которая связывает расстояние в физическом пространстве со временем. В наших моделях появилась новая фундаментальная физическая константа: максимальная скорость сцепления, которая связывает расстояние в пространстве ветвлений со временем. Я называю эту максимальную скорость запутывания ζ (дзета) (ζ немного похожа на «запутанную c»). Я не уверен, каково ее точное значение, но по моей оценке она соответствует запутыванию примерно
Из-за связи между ветвистыми причинно-следственными ребрами и энергией можно преобразовать ζ в единицы энергии в секунду, и наша оценка предполагает, что ζ составляет около
Я искренне поражен тем, как много мы смогли выяснить только на основе общей структуры наших моделей. Но чтобы получить окончательную фундаментальную теорию физики, нам все еще нужно найти конкретное правило. Правило, которое дает нам 3 (или около того) измерения пространства, конкретную скорость расширения Вселенной, определенные массы и свойства элементарных частиц и так далее. Но как нам приступить к поиску этого правила?
И на самом деле даже до этого нам нужно спросить: если бы у нас было правильное правило, поняли бы мы это? Как я упоминал ранее, здесь потенциально может возникнуть большая проблема с вычислительной несократимостью. Потому что, каким бы ни было основное правило, наша реальная Вселенная, применяла его, возможно более
И если существует вычислительная несократимость (а она существует), тогда не будет способа коренным образом уменьшить объем вычислительных усилий, необходимых для определения результата всех этих приложений правил.
Но мы должны надеяться, что каким-то образом — даже при том, что полная эволюция Вселенной не поддается вычислению — все еще существует достаточно «туннелей вычислительной сводимости», чтобы мы смогли выяснить данные, необходимые нам для сравнения с тем, что мы знаем о физике, без необходимости выполнять всю эту вычислительную работу. И я должен сказать, что наш недавний успех в получении выводов только на основе общей структуры наших моделей придает мне оптимизма в отношении этой возможности.
Какие правила нам следует учитывать? Традиционный подход в естествознании (по крайней мере, в течение последних нескольких столетий), как правило, сводится к следующему: начните с того, что вы знаете о любой системе, которую изучаете, а затем попытайтесь «реконструировать» ее правила. Но в наших моделях слишком много эмпирических данных, чтобы это работало. Взгляните на это:
Учитывая общую форму этой структуры, вы никогда не догадались бы, что ее можно создать по простому правилу:
Я исследовал вычислительные вселенные в течение примерно сорока лет, и должен сказать, что даже сейчас удивительно, как часто меня поражает способность чрезвычайно простых правил вызывать поведение, которого я даже не ожидал. И это особенно характерно для совершенно бесструктурных моделей, которые мы используем. В конце концов, единственный реальный способ узнать, что может случиться в этих моделях, — это просто перечислить возможные правила, а затем запустить их и посмотреть, что получается.
Но теперь возникает еще один вопрос. Если мы начнем перечислять очень простые правила, как далеко нам придется зайти, прежде чем мы найдем нашу Вселенную? Или, другими словами, насколько простым будет правило для нашей Вселенной?
Возможно, в некотором смысле правило для Вселенной будет иметь особый случай для каждого элемента вселенной — каждой частицы, каждой позиции в пространстве и т. д. Научные законы предполагают, что правило не имеет такого уровня сложности. Но насколько простым оно будет? Мы не знаем. И я должен сказать, что я не думаю, что наши недавние открытия проливают какой-либо конкретный свет на это — потому что они в основном говорят, что многие вещи в физике являются общими и не зависят от специфики основного правила, каким бы простым или сложным оно ни было.
Ну, хорошо, допустим, мы обнаружим, что нашу Вселенную можно описать некоторым определенным правилом. Тогда возникает очевидный следующий вопрос: почему это правило, а не какое-то другое? История науки со времен Коперника снова и снова показывает нам доказательства того, что мы «не особенные». Но если правило, которое описывает нашу Вселенную, простое, не будет ли эта простота признаком «особенности»?
Я давно думаю об этом. Может ли быть, например, что правило является простым только из-за того, как мы, как сущности, существующие в нашей конкретной вселенной, выбираем свои способы описания реальности? И что в какой-то другой вселенной, с каким-то другим правилом, существа, которые там существуют, установят свои способы описания реальности так, чтобы правило их вселенной было для них простым, хотя оно может быть очень сложным для нас?
Или может быть так, что в некотором фундаментальном смысле не имеет значения, каковы правила для Вселенной: для наблюдателей, встроенных во вселенную, действующих по тем же правилам, что и эта вселенная, выводы о том, как работает Вселенная, всегда будут те же самые?
Или, может быть, это вопрос, выходящий за рамки науки?
К моему значительному удивлению, парадигма, возникшая в результате наших недавних открытий, потенциально, похоже, предлагает определенный — хотя на первый взгляд странный — научный ответ.
В том, что мы обсуждали до сих пор, мы представляем себе, что для нашей вселенной существует особое, единственное правило, которое применяется снова и снова, эффективно всеми возможными способами. Но что, если бы не было единственного правила, которое можно было бы использовать? Что, если бы можно было использовать все мыслимые правила? Что, если бы каждое событие обновления могло просто использовать любое возможное правило? (Обратите внимание, что в конечной вселенной может применяться только конечное число правил.)
Сначала может показаться, что такая модель никогда не приведет к чему-то определенному. Но представьте себе построение графа ветвлений абсолютно всего, что может произойти, включая все события для всех возможных правил. Это большой сложный объект. Но он далеко не бесструктурен, он полон всех видов структур.
И в этом есть одна важная деталь: в основном гарантируется причинно-следственная инвариантность (в основном потому, что если есть правило, которое что-то делает, всегда есть другое правило, которое может это отменить).
Итак, теперь мы можем создать причинно-следственный граф, который покажет аналог теории относительности в пространстве правил. И это означает, что в графе ветвлений «пространства правил» мы можем ожидать создания различных слоений, но все они будут давать согласованные результаты.
Это замечательное концептуальное объединение. У нас есть физическое пространство, пространство ветвлений, а теперь еще то, что мы можем назвать пространством правил. И ко всем ним применимы одни и те же общие идеи и принципы. И точно так же, как мы определили системы отсчета в физическом пространстве и пространстве ветвлений, мы также можем определить системы отсчета в пространстве правил.
Но какие системы отсчета наблюдатели могут установить в пространстве правил? В типичном случае мы можем думать о различных системах отсчета в пространстве правил как о соответствующих различным языкам описания, на которых наблюдатель может описывать свой опыт Вселенной.
Говоря абстрактно, это знакомая идея, что с помощью любого конкретного языка описания мы всегда можем явно запрограммировать любой универсальный компьютер, чтобы перевести его на другой язык описания. Но здесь мы говорим о том, что в пространстве правил достаточно выбрать другую систему отсчета, чтобы в нашем представлении Вселенной использовался другой язык описания.
И примерная причина, по которой это работает, заключается в том, что разные слоения пространства правил соответствуют разному выбору последовательностей правил в графе ветвлений пространства правил, который фактически может быть настроен для «вычисления» выходных данных, которые были бы получены с любым заданным описанием языка. То, что это может сработать, в конечном итоге зависит от того факта, что последовательности наших правил могут поддерживать универсальные вычисления — для этого достаточно просто «выбрать другую систему отсчета в пространстве правил», «запустить другую программу» и получить другое описание наблюдаемого поведения Вселенной.
Странная, но довольно интересная картина. Вселенная использует все возможные правила. Но как существа, встроенные во вселенную, мы выбираем определенное слоение (или последовательность систем отсчета), чтобы понять, что происходит. И этот выбор слоения соответствует языку описания, который дает нам конкретный способ описания Вселенной.
Но что можно сказать определенно о Вселенной — независимо от слоения? Есть одно важное обстоятельство: вселенная, какое бы слоение ни использовалось для ее описания, — это всего лишь универсальный компьютер, и не более того. И такие гипервычисления невозможны во Вселенной.
Учитывая структуру наших моделей, это еще не все. Точно так же, как есть максимальная скорость в физическом пространстве (скорость света c) и максимальная скорость в пространстве ветвлений (максимальная скорость запутывания ζ), так также должна быть максимальная скорость в пространстве правил, которую мы можем назвать ρ — это фактически еще одна фундаментальная константа природы. (Постоянство ρ фактически является отражением принципа вычислительной эквивалентности.)
Но чему соответствует движение в пространстве правил? По сути, это смена правила. И сказать, что это может происходить только с конечной скоростью, значит сказать, что существует вычислительная несократимость: одно правило не может имитировать другое бесконечно быстро. И с учетом этой конечной «скорости эмуляции» существуют «конусы эмуляции», которые являются аналогом световых конусов и определяют, как далеко можно продвинуться в пространстве правил за определенное время.
Какие единицы у ρ? По сути, это длина программы, разделенная на время. Но в то время как в теории вычислений обычно предполагают, что длина программы может быть масштабирована почти произвольно с помощью различных моделей вычислений, здесь это мера длины программы, которая каким-то образом фундаментально привязана к структуре системы ветвлений пространства правил и физического пространства. (Кстати, аналог кривизны и уравнений Эйнштейна будет и в пространстве правил — и это, вероятно, соответствует геометризации теории сложности вычислений и таких вопросов, как P?=NP.)
О структуре пространства правил можно сказать больше. Например, давайте представим, что мы пытаемся создать слоение, в котором мы замораживаем время где-нибудь в пространстве правил. Это будет соответствовать попытке описать Вселенную, используя некоторую вычислительно сокращаемую модель — и со временем будет становиться все труднее и труднее делать это, поскольку конусы эмуляции обеспечивают все большую и большую вычислительную несократимость.
Итак, что все это означает для нашей первоначальной цели — поиска правила для описания нашей Вселенной? По сути, это говорит о том, что подойдет любое (универсальное вычисление) правило — если мы готовы создать соответствующий язык описания. Но дело в том, что мы в основном уже определили по крайней мере некоторые элементы нашего языка описания: это те вещи, которые обнаруживают наши органы чувств, наши измерительные устройства измеряют, а наша существующая физика описывает. Итак, теперь наша задача — найти правило, которое успешно описывает нашу вселенную в рамках этой концепции.
Для меня это очень удовлетворительное решение загадки того, почему для нашей Вселенной было выбрано какое-то конкретное правило. Ответ заключается в том, что в конечном счете не существует какого-то конкретного правила — подойдет любое правило, способное к универсальному вычислению. Просто с каким-то определенным способом описания, который мы выбираем использовать, будет какое-то определенное правило, которое описывает нашу Вселенную. И в каком-то смысле, какая бы особенность ни была в этом правиле, это просто отражение специфики нашего способа описания. По сути, единственное, что является для нас особенным во Вселенной, — это мы сами.
А это дает однозначный ответ на еще один давний вопрос: могут ли быть другие вселенные? Ответ в нашей модели в основном отрицательный. Мы не можем просто «выбрать другое правило и получить другую вселенную». Потому что в некотором смысле наша Вселенная уже содержит все возможные правила. (Могут быть и другие вселенные, которые выполняют различные уровни гипервычислений.)
Но возможно и кое-что более странное. Хотя мы смотрим на нашу вселенную — и на реальность — через наш конкретный тип языка описания, существует бесконечное количество других возможных языков описания, которые могут привести к описаниям реальности, которые будут казаться связными (и даже в некотором подходящем определении «значимыми») внутри самих себя, но которые нам покажутся соответствующими совершенно бессвязным и бессмысленным аспектам нашей вселенной.
Я всегда предполагал, что любая сущность, существующая в нашей Вселенной, должна, по крайней мере, «испытывать ту же физику, что и мы». Но теперь я понимаю, что это не так. На самом деле, существует почти бесконечное разнообразие различных способов описания и восприятия нашей вселенной, или, по сути, почти бесконечное разнообразие различных «планов существования» для сущностей во вселенной — соответствующих различным возможным системам отсчета в пространстве правил, в конечном итоге связанных между собой через универсальные вычисления и относительность пространства правил.
Что значит создать модель Вселенной? Если мы просто хотим знать, что делает Вселенная, тогда у нас есть Вселенная, и мы можем просто наблюдать, что она делает. Но когда мы говорим о создании модели, на самом деле мы имеем в виду, что хотим иметь представление о Вселенной, которое каким-то образом связывает ее с тем, что мы (люди) можем понять. При учете вычислительной несократимости мы не ожидаем от модели, что она будет «заранее предсказывать» поведение Вселенной с точностью до каждой детали. Но мы действительно хотим иметь возможность указать на модель — структуру которой мы понимаем — и затем иметь возможность сказать, что эта модель соответствует нашей Вселенной.
В предыдущем разделе мы сказали, что хотим найти правило, которое мы могли бы в некотором смысле связать с языком описания, который мы используем для Вселенной. Но каким должен быть язык описания самого правила? Неизбежно существует большая вычислительная дистанция между основным правилом и особенностями Вселенной, которые мы привыкли описывать. Итак, как я уже несколько раз говорил здесь по-разному, мы не можем ожидать использования обычных концепций, с помощью которых мы описываем мир (или физику), непосредственно при построении правила.
Я провел большую часть своей жизни в качестве разработчика языков, в основном создавая то, что сейчас является полноценным вычислительным языком — Wolfram Language. И теперь я рассматриваю попытку найти фундаментальную теорию физики как во многих отношениях просто еще одну проблему в языковом дизайне — возможно, даже самую важную из таких задач.
При разработке вычислительного языка мы пытаемся создать мост между двумя областями: абстрактным миром вычислений и «ментальным» миром того, что люди понимают и в чем заинтересованы. Есть всевозможные вычислительные процессы, которые можно изобрести (скажем, запуск случайно выбранных правил клеточного автомата), но главная задача языкового дизайна состоит в том, чтобы выяснить, какие из них волнуют людей на данном этапе истории человечества, а затем дать людям возможность описать их.
Хорошо, давайте поговорим о создании модели Вселенной. Возможно, самая важная идея в моих попытках найти фундаментальную теорию физики состоит в том, что теория должна основываться на общей вычислительной парадигме (а не, например, конкретно на математике). Итак, когда мы говорим о языке для описания нашей модели Вселенной, мы видим, что он должен соединять три различных области. Это должен быть язык, понятный людям. Это должен быть язык, способный выражать вычислительные идеи. И это должен быть язык, который действительно может представлять основную структуру физики.
Итак, каким должен быть этот язык? Какие примитивы он должен содержать? История, которая привела меня к тому, что я здесь описываю, во многом является историей моих попыток сформулировать соответствующий язык. Это кубические графы? Это упорядоченные графы? Это правила, применимые к абстрактным отношениям?
Во многих отношениях мы неизбежно находимся на грани возможностей человеческого разума. Возможно, однажды мы выработаем знакомые способы говорить о задействованных концепциях. Но пока у нас их нет. Что сделало этот проект осуществимым сейчас, так это то, что мы так далеко зашли в разработке способов выражения вычислительных идей — и что благодаря Wolfram Language эти формы выражения стали знакомы, по крайней мере, мне.
Стремясь служить людским потребностям язык Wolfram Language в первую очередь принимает ввод, оценивает его путем вычислений и затем генерирует вывод. Но это не то, что делает Вселенная. Вселенная в некотором смысле внесла вклад в самом начале, а сейчас она просто проводит оценку — и с учетом всех наших представлений о слоениях, мы отбираем определенные аспекты этой текущей оценки.
Это вычисление, но это вычисление, производимое непривычным для нас способом. Для языкового дизайнера, вроде меня, это интересно само по себе, со всеми своими научными и технологическими побочными эффектами. Возможно, потребуется гораздо больше идей, прежде чем мы сможем закончить работу по поиску способа представления основного правила фундаментальной физики.
Но я оптимистично настроен: у нас уже есть почти все идеи, которые нам нужны. Также у нас есть хорошая методология: мы можем проводить исследования с помощью компьютерных экспериментов. Если бы мы все полагались на традиционную методологию математики, мы смогли бы исследовать только то, что уже знаем. Но, проводя компьютерные эксперименты, мы фактически отбираем необработанную вычислительную вселенную возможностей, не ограничиваясь нашим существующим пониманием.
Конечно, как и в случае с физическими экспериментами, важно, как мы думаем о наших экспериментах и какой язык описания мы используем. Мне безусловно помогает то, что я проводил компьютерные эксперименты более сорока лет, и за это время я смог постепенно усовершенствовать свое искусство и науку, стоящую за ним.
Это похоже на то, как мы учимся на собственном опыте в физическом мире. Наблюдая за результатами множества экспериментов, мы постепенно развиваем интуицию, которая, в свою очередь, позволяет нам начать создавать концептуальную основу, которая затем используется при разработке нашего языка для описания реальности. Но эксперименты нужно проводить постоянно. В некотором смысле вычислительная несократимость означает, что мы постоянно будем получать сюрпризы, что я и обнаруживаю на практике в этом проекте.
Сможем ли мы объединить физику, вычисления и человеческое понимание, чтобы создать то, что мы сможем считать окончательной фундаментальной теорией физики? Трудно сказать, насколько это будет сложно. Но я крайне оптимистично настроен и думаю, что мы наконец-то на правильном пути и уже даже решили увлекательную проблему языкового дизайна, необходимую для разгадки тайн Вселенной.
Учитывая все это, что нужно сделать, чтобы найти фундаментальную теорию физики? Самое важное — мы наконец на правильном пути. Конечно, что неудивительно, задача все еще технически крайне сложна. Частично эта трудность проистекает непосредственно из вычислительной несократимости и из-за сложности разработки последствий основных правил. Но отчасти трудности также связаны с успехом и сложностью существующей физики.
В конце концов, наша цель должна состоять в том, чтобы построить мост, который соединит наши модели с существующими знаниями о физике. И с обеих сторон предстоит трудная работа. Пытаться сформулировать последствия наших моделей в терминах, согласующихся с существующей физикой, и попытаться сформулировать математические структуры существующей физики в терминах, которые согласуются с нашими моделями.
Для меня одним из наиболее приятных аспектов наших открытий за последние пару месяцев была степень, в которой они в конечном итоге находили отклик в огромном диапазоне существующих — иногда до сих пор кажущихся «чисто математическими» — направлениях, которые попали из математики в физику в последние годы. Кажется, что создатели всех современных теорий были правы с самого начала, и нужно просто добавить некий новый субстрат, чтобы увидеть, как все они сочетаются друг с другом. В наших моделях есть намеки на теорию струн, голографические принципы, теорию причинных множеств, петлевую квантовую гравитацию, теорию твисторов и многое другое. Существуют также современные математические идеи — геометрическая теория групп, теория категорий высокого порядка, некоммутативная геометрия, геометрическая теория сложности и т. д. — которые кажутся настолько хорошо согласованными с нашими моделями, что можно подумать, что они должны были быть построены специально для их анализа.
Должен сказать, я этого не ожидал. Идеи и методы, на которых основаны наши модели, сильно отличаются от того, что когда-либо серьезно применялось в физике или даже в математике. Но каким-то образом — и я думаю, что это хороший знак — то, что обнаружилось, прекрасно согласуется с множеством недавних работ в области физики и математики. Основы и мотивирующие идеи разные, но методы (а иногда даже результаты) часто кажутся применимыми сразу.
Есть кое-что еще, чего я не ожидал, но что очень важно. Изучая клеточные автоматы в вычислительной вселенной простых программ, я обычно обнаруживал, что вычислительная несократимость — и такие явления, как неразрешимость — присутствуют повсюду. Попробуете использовать сложные математические методы — и они почти всегда терпят неудачу.
Но из-за того, что наши модели фундаментальной физики такие минималистичные и бесструктурные, даже до столкновения с проблемой несократимости мы можем увидеть поразительное богатство свойств наших моделей. Отсюда многие из наших недавних открытий. И именно здесь существующие методы физики и математики могут внести большой вклад. Мы можем многое понять, прежде чем мы столкнемся с вычислительной несократимостью. (Что, кстати, вероятно, является причиной того, почему мы вообще в состоянии сформировать связное представление о физической реальности.)
Так как же попытка найти фундаментальную теорию физики будет работать на практике? Мы планируем централизованные усилия по продвижению проекта, используя по существу те же методы исследований и разработок, которые мы разработали в Wolfram Research за последние три десятилетия и которые успешно принесли нам так много открытий. Мы планируем делать все полностью открыто. Мы уже опубликовали полный набор разработанных нами программных инструментов, а также почти тысячу заархивированных рабочих записей, относящихся к 1990-м годам, и более 400 часов видео с последних рабочих сессий.
Мы хотим позволить людям участвовать непосредственно в наших централизованных усилиях или отдельно от нас. Мы будем транслировать то, что делаем, и добиваться максимального взаимодействия. Мы будем проводить множество образовательных программ. Мы также планируем проводить (в прямом эфире) рабочие сессии с другими людьми и группами, а также предоставлять каналы для компьютерной публикации результатов и промежуточных выводов.
Я должен сказать, что мне работа над этим проектом как сейчас, так и в прошлые годы принесла море удовольствия. И я надеюсь, что и другие люди смогут разделить эти чувства по мере продвижения нашего проекта. Я думаю, что мы наконец нашли путь к фундаментальной теории физики. И теперь пойдем по этому пути. Давайте попробуем наконец-то выяснить, как устроена наша вселенная!
Неожиданное открытие
За прошедшие несколько веков произошел настоящий прорыв в наших знаниях о принципах работы окружающего нас мира. Но несмотря на это, у нас все еще нет фундаментальной теории физики, и мы все так же не имеем ответа на вопрос о том, как именно работает наша Вселенная. Я занимаюсь этой темой уже порядка 50-и лет, но только в последние несколько месяцев все кусочки пазла наконец-то начали складываться вместе. И получающаяся картина оказалась гораздо прекрасней, чем все, что я только мог себе представить.
В те времена, когда я зарабатывал себе на жизнь теоретической физикой, я не особо задумывался над поиском так называемой «теории всего». Я был больше озабочен тем, чтобы извлечь что-нибудь новое из тех теорий, которые у нас уже есть. И я думал, что даже если когда-нибудь и появится единая фундаментальная теория физики, то она неизбежно окажется очень сложной и запутанной.
Но когда в начале 80-х я начал изучать теорию клеточных автоматов, я осознал, что работающие даже по очень простым правилам системы могут иметь поразительно сложное поведение. И это натолкнуло меня на мысль: может быть Вселенная устроена схожим образом? Может быть под всей кажущейся сложностью и многогранностью нашей Вселенной скрываются очень простые правила?
В начале 90-х годов у меня сформировалось некоторое понимание того, как эти правила могли бы выглядеть, и ближе к концу того десятилетия я начал понимать, как из этих простейших правил мы можем вывести наши знания о пространстве, времени, гравитации и всех других физических явлениях. Этим идеям «вычисления» законов физики я посвятил около 100 страниц в своей книге A New Kind of Science.
Мне всегда хотелось начать большой исследовательский проект, чтобы продвинуться в этом направлении дальше. Я пытался начать такой проект в 2004 году, но сильно увяз в работе над Wolfram Alpha и Wolfram Language. Время от времени я встречался со своими друзьями-физиками и мы обсуждали мои идеи. Это были интересные разговоры, но мне казалось, что поиск фундаментальной теории физики — это слишком сложное занятие, доступное только реально увлеченным фанатикам.
Было что-то, что сильно беспокоило меня в моих идеях. Правила, определяемые моей теорией, казались мне слишком негибкими и надуманными. Как создатель языка для математических вычислений, я постоянно думал об абстрактных системах правил. И очень часто у меня было ощущение, что что-то подобное может быть и в физике. Но мои рассуждения никогда никуда меня не приводили. Пока внезапно осенью 2018 года у меня не появилась интересная идея.
В некотором смысле эта идея была простой и очевидной, хотя и очень абстрактной. Но кроме того, она была очень элегантной и минималистичной. Мне показалось, что я очень близок к пониманию того, как работает наша Вселенная. К сожалению, я был жутко занят развитием Wolfram Alpha, и не смог выделить времени на еще один проект. Все изменилось, когда на нашей ежегодной летней школе в 2019 году я встретил двух молодых физиков — Джонатана Горарда и Макса Пискунова, которые вдохновили меня наконец-то сесть за проработку своих идей. Физика всегда была моей страстью, и вот после своего 60-летнего юбилея в августе 2019 года я наконец-то решился сделать это.
Итак, вместе с двумя вдохновившими меня молодыми физиками в октябре 2019 года мы начали наш проект. И не успев начать наши исследования, мы сразу же стали наталкиваться на очень интересные находки. Мы воспроизвели все, что я разрабатывал в 90-х годах, но гораздо более элегантным способом. Из маленьких бесструктурных правил мы вывели пространство, время, относительность, гравитацию и намеки на квантовую механику.
Мы провели миллионы экспериментов, проверяя свои догадки. Постепенно все начало проясняться, мы начали примерно понимать как работает квантовая механика. Мы поняли, что такое энергия. Мы вывели формулировку квантовой теории через интегралы по траекториям, созданную моим покойным другом и учителем Ричардом Фейнманом. Мы увидели некоторые глубокие структурные связи между относительностью и квантовой механикой. Все встало на свои места. Мы начали понимать не только как работают законы физики, но и почему.
Я и мечтать не мог о том, что наш прогресс будет настолько стремительным. Я ожидал, что наши исследования будут идти гораздо медленнее, что если повезет, мы будем потихоньку продвигаться в понимании законов физики и того, что происходило с нашей Вселенной в первые секунды ее существования, и что мы потратим долгие годы на эти изыскания. В конце, если у нас будет полная фундаментальная теория физики, мы сможем найти конкретную единую формулу для нашей Вселенной. И даже сейчас я не знаю, как долго это займет: год, десятилетие или даже целый век. Несколько месяцев назад я не был даже уверен, что мы на верном пути. Но сегодня все изменилось. Слишком многое встало на места. Мы еще не знаем точных деталей и того как именно настроены шестеренки нашего мира, но я полностью уверен, что имеющаяся у нас модель однажды расскажет нам о том, как устроена Вселенная.
Самый верный признак качества научной модели — простые законы объясняют сложные эффекты. И наша теория как никакая другая соответствует этому эмпирическому правилу. Из простейших формул мы получаем целые разделы современной физики. И что наиболее удивительно — нам до сих пор не пришлось вводить для этого никаких дополнительных параметров. Мы просто ищем объяснения физических явлений в самих свойствах нашей модели, не добавляя ничего сверх того.
В основе нашей модели лежат настолько простые правила, насколько это только возможно. Забавно, что эти правила могут быть записаны в одну строчку на Wolfram Language. В сыром виде, они не очень похожи на все те математические структуры, что мы знаем. Но как только мы смотрим на результаты многоитерационного рекурсивного применения этих правил, то становится ясно насколько элегантно они связаны с современной математикой. То же самое и с физикой. Базовая структура наших моделей выглядит абсолютно чуждой всему, что было сделано в физике за последние несколько столетий. Но то, что мы получили изучая наши модели, было изумительно: мы обнаружили, что многие теории, созданные физиками в последние десятилетия, отлично ложатся на нашу модель.
Я боялся, что мне придется выкинуть все существующие достижения науки. Но оказалось, что несмотря на то, что наша модель, подход и методы очень сильно отличаются от всех существующих, в основе нашей теории лежит все то, над чем физики работают последние десятки лет.
После мы начнем физические эксперименты. Если бы вы спросили меня пару месяцев назад, когда мы получим какие-либо проверяемые выводы из наших моделей, я бы ответил, что нескоро и точно до того, как мы найдем финальную формулу. Но сейчас мне кажется, что я был неправ. И фактически мы уже получили некоторые догадки о неизведанных причудливых явлениях, существование которых можно экспериментально подтвердить.
Что же дальше? Я буду рад сказать, что я думаю, что мы нашли дорогу к фундаментальной теории физики. Мы построили парадигму, фреймворк и вычислительные инструменты для нее. Но теперь мы должны закончить работу. Мы должны проделать тяжелую работу по физическим, математическим и алгоритмическим расчетам и узнать, можем ли мы наконец-то ответить на мучающий нас тысячелетиями вопрос о том, как работает наша Вселенная.
Я хочу разделить с вами этот волнующий момент. Я с нетерпением жду того, чтобы многие люди приняли участие в нашем проекте. Этот проект ведь не только мой и моей маленькой команды. Это проект важный для всего мира. И когда мы закончим его, он станет нашим величайшим достижением. Поэтому я хочу, чтобы как можно больше людей поучавствовали в нем. Да, многое, что нужно сделать, требует нетривиальных познаний в физике и математике, но я хочу распространить информацию о проекте как можно шире, чтобы каждый мог внести свой вклад и вдохновиться тем, что станет величайшим в истории интеллектуальным приключением.
Мы официально запускаем наш Wolfram Physics Project. Начиная с сегодняшнего дня мы будем транслировать все, что мы делаем и делиться нашими открытиями со всем миром в реальном времени. Я публикую все наши материалы и весь наш софт для расчетов. Мы будем постоянно выкладывать сводки о нашем прогрессе и различные образовательные материалы.
Также мы выкладываем в открытый доступ Реестр Замечательных Вселенных. Он заполнен примерно тысячью правил. Я не думаю, что даже хотя бы одно из них относится к нашей Вселенной, хотя я и не могу быть полностью уверенным в этом. Но однажды, и я надеюсь это однажды наступит уже очень скоро, в нашем реестре появится правило, полностью описывающее нашу Вселенную.
Общие принципы
Так как же работает наша модель? Я написал 448-страничное техническое изложение наших идей (да, я изрядно поработал в течение предыдущих нескольких месяцев). Другой член нашей команды Джонатан Горард написал две 60-страничные технических статьи. На странице нашего проекта доступно еще несколько материалов по данной теме. Но в этой статье я собираюсь дать краткое изложение общих положений нашей теории.
Все начинается с самого простого множества абстрактных отношений между абстрактными элементами, которое также может быть представлено в виде графа.
Предположим, у нас есть множество отношений:
{{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {2, 4}}которое в виде графа выглядит так:
Все, что мы определяем здесь — это отношения между элементами (например {1, 2}). Порядок, в котором мы объявляем эти отношения, не имеет значения, а вот порядок элементов внутри каждого отношения важен. И при зарисовке графа имеет значение только то, что с чем соединено. Фактическое расположение элементов на рисунке выбрано только из соображений красоты и ничего другого. Также не имеет значения, как называются элементы. Я пронумеровал их на рисунках, но можно было бы этого и не делать.
Так что же мы будем делать с этими графами? Мы будем применять к ним очень простое правило много много раз. Вот пример подобного правила:
{{x, y}, {x, z}} → {{x, z}, {x, w}, {y, w}, {z, w}}Это правило гласит, что мы должны взять два отношения из множества и проверить их на соответствие образцу {{x,y},{x,z}}. Если есть совпадение, то мы заменяем эти два отношения четырьмя отношениями {{x, z}, {x, w}, {y, w}, {z, w}} (где w — это новый элемент множества).
Мы можем представить эту трансформацию как операцию над графами:
Теперь давайте применим это правило к нашему множеству:
{{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {2, 4}}Отношения {2,3} и {2,4} соответствуют нашему образцу, так что мы заменяем их на четыре новых отношения и получаем:
{{1, 2}, {3, 4}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 5}, {4, 5}}Мы можем представить результат в виде графа (я нарисовал его перевернутым по отношению к изначальному):
Что будет, если мы продолжим применять это правило к нашему множеству рекурсивно? Результат будет выглядеть так:
Давайте сделаем это еще пару раз и получим более общую картину:
Что произошло? У нас было очень простое правило. Но рекурсивное применение этого правила породило структуру, выглядящую очень сложным образом. Здравый смысл подсказывает нам, что так не бывает. Но в действительности такое спонтанное зарождение сложности встречается повсеместо при применении простейших правил к простейшим структурам. Вся моя книга A New Kind of Science посвящена этому феномену и тому, почему изучение этого феномена критически важно для современной науки.
Именно из таких простых структур и правил мы выведем принципы работы нашей Вселенной и всего, что в ней есть. Давайте еще раз посмотрим на то, что мы сделали. Мы взяли простое множество абстрактных отношений и стали рекурсивно применять к нему простое правило преобразования. Но то, что мы получили, простым назвать никак нельзя. И самое главное, у получившегося объекта становится заметна некая форма. Мы не вкладывали никакого смысла в эту форму. Мы просто взяли простейшее правило, и используя это правило мы построили граф. При визуализации этого графа мы видим, что он принимает определенную форму.
Если мы исключим всю материю во Вселенной, то окажется, что наша Вселенная это просто громадный кусок пространства. Но что такое пространство? У нас есть математические абстракции пространства уже более двух тысяч лет. Но что это пространство? Состоит ли оно из чего-то, и если состоит, то из чего именно?
Я думаю, что пространство похоже на картинки сверху — это целый сгусток связанных друг с другом абстрактных точек. Только на картинке сверху всего 6704 точек, тогда как в реальной Вселенной их около
10^400 или даже больше.Все возможные правила
Мы пока не знаем точное правило, отражающее нашу Вселенную — и это точно не то правило, которое мы только что рассматривали. Так давайте же обсудим какие возможные правила бывают, и что из них получается.
Характерной чертой правила, которое мы рассматривали выше, было то, что оно работает с множествами бинарных отношений, содержащих пары элементов (например {1, 2}). Но та же самая система может работать с отношениями, содержащими большее количество элементов. Вот например, множество из двух троичных отношений:
{{1, 2, 3}, {3, 4, 5}}Мы не можем представить это множество в виде обычного графа, но мы можем использовать гиперграф — конструкцию, в которой мы обобщаем ребра графа, которые соединяют пары точек, в гипер-ребра, соединяющие любое количество точек:
Заметьте, что мы имеем дело с направленными гиперграфами, где порядок, в котором находятся точки в гипер-ребре имеют значение. На этой картинке «мембраны» просто означают то, какие точки соединены в одно гипер-ребро.
Мы точно так же можем задать правила для гиперграфа:
{{x, y, z}} → {{w, w, y}, {w, x, z}}И вот что будет, если мы применим это правило к простейшему возможному троичному множеству
{{0,0,0}}:Отлично! В таком случае, что будет, если мы начнем запускать разные случайные простые правила? Вот некоторые результаты таких запусков:
Вам не кажется, что все эти структуры выглядят очень «по-живому»? И да некоторые эти модели определенно могут иметь отношение не только к фундаментальной физике, но и например к конструкции биологических клеток. По факту, мы видим здесь различные общие формы поведения. Некоторые из них простые, некоторые не очень.
Вот примеры типов структур, которые мы видим:
Главный вопрос состоит в том, что: если мы будем прогонять эти правила достаточно долго, выдадут ли они нам результат, воспроизводящий нашу физическую Вселенную? Или формулируя по-другому, можем ли мы найти в этой вычислимой по простым правилам математической структуре нашу физическую Вселенную?
И даже если наша физическая Вселенная там присутствует, как мы можем в этом убедиться? Все что мы видим на картинках выше — результат нескольких тысяч итераций. В нашей настоящей Вселенной было произведено около
10^500 итераций, а может быть даже больше. Преодолеть эту разницу непросто. И мы должны идти к разрешению этой проблемы с обеих сторон. С одной стороны, мы должны использовать все наши знания о физике нашей Вселенной, которые мы получили за предыдущие несколько сотен лет. С другой стороны, мы должны изучать эти самые простейшие правила преобразования графов и понимать, что именно они делают.И даже здесь есть потенциально фундаментальная проблема: феномен вычислительной несократимости. Одно из величайших достижений математики произошло около трех столетий назад: были изобретены уравнения и формулы, которые говорили как система ведет себя без описания каждого шага, который эта система совершает. Но еще много лет назад я понял, что в вычислимой Вселенной очень часто сделать это оказывается невозможно. Даже если вы знаете точное правило, по которому работает система, вы не можете понять, как эта система работает без выполнения каждого шага вычисления.
Вы можете подумать, что если мы знаем правило, которому следует система — тогда, используя всю вычислительную мощь наших компьютеров и мозгов, мы всегда можем «запрыгнуть вперед» и понять, как система будет вести себя. Но в действительности этому мешает эмпирический закон, который я называю Принципом Вычислительного Равенства — почти в любом случае, когда поведение системы не очевидно простое, то не существует алгоритма расчета состояния системы после определенного количества итераций с вычислительной сложностью меньшей, чем вычислительная сложность осуществления всех этих итераций. Так что мы не сможем «обогнать» вычисление, и чтобы понять, как система работает, нам придется выполнить несократимое количество шагов.
Для наших моделей это может оказаться потенциально большой проблемой. Потому что мы не можем даже приблизиться по количеству выполняемых итераций к тому числу итераций, которое произвела наша Вселенная с начала своего существования. Также не совсем понятно, сможем ли мы извлечь достаточно информации из прогонки наших моделей на доступных нам вычислительных мощностях и понять, как эта информация соотносится с известными нам законами физики.
Самым большим сюрпризом для меня стало то, что, кажется, нам везет. Мы знаем, что даже когда в нашей системе есть вычислительная несократимость, в ней также есть бесконечное число зон вычислительной сократимости. И большинство этих зон соответствуют нашим знаниям о физике.
Что такое пространство?
Давайте взглянем на одно простое правило из нашей громадной коллекции:
{{x, y, y}, {z, x, u}} → {{y, v, y}, {y, z, v}, {u, v, v}}Вот что оно порождает:
А через еще несколько итераций получается вот это:
Получившаяся структура сильно напоминает очень простой «кусочек пространства». Если мы продолжим рекурсивно применять наше правило дальше, то эта сетка будет становиться все тоньше и тоньше, пока в конце концов не станет неотличима от сплошной плоскости.
Вот другое правило:
{{x, x, y}, {z, u, x}} → {{u, u, z}, {v, u, v}, {v, y, x}}Эта структура уже напоминает трехмерную. А вот еще одно правило:
{{x, y, z}, {u, y, v}} → {{w, z, x}, {z, w, u}, {x, y, w}}Это не кажется вам странным? У нас есть правило, которое определяет как переписывать куски абстрактного гиперграфа без какого либо упоминания геометрии или трехмерного пространства. И после определенного количества итераций это правило порождает гиперграф, выглядящий как трехмерная поверхность.
И несмотря на то, что тут в действительности есть только связи между точками, мы можем «догадаться» на какой фигуре может быть такая поверхность и отрендерить результат в трех измерениях:
Если мы продолжим, то постепенно сетка будет становиться все тоньше и тоньше, пока не превратится в непрерывную 3D поверхность, которую вы могли бы изучать на курсе матанализа. Конечно, в некотором роде это не «настоящая» поверхность — это просто гиперграф, представляющий кучу абстрактных отношений, но каким-то образом паттерн этих отношений делает структуру все более и более похожей на поверхность.
И я думаю, что именно так устроено все пространство в нашей Вселенной. В общем-то это куча дискретных, абстрактных отношений между абстрактными точками. Но при взгляде с определенного масштаба мы видим, что паттерн этих отношений делает эту структуру похожей на привычное нам непрерывное пространство. Это похоже на наше представление о воде: по сути вода — это куча дискретных молекул, но когда мы смотрим на нее с большого масштаба, она кажется нам непрерывной жидкостью.
Люди размышляли о том, что пространство может быть дискретным с античности, но в современную физику вписать эту концепцию ни у кого не получалось. Да и гораздо удобнее рассматривать пространство как континуум, чтобы была возможность использовать всю мощь созданного нами математического аппарата. Но сейчас мне кажется, что идея о том, что пространство дискретно, точно войдет в фундаментальную теорию физики.
Размерность пространства
Мы ощущаем пространство как трехмерное. Как наши правила могут воспроизвести эту трехмерность? Два правила, которые мы только что рассмотрели, породили двумерные поверхности: в первом случае плоскую, во втрором имеющую некую форму. Конечно, это не очень честные примеры двумерного пространства — это просто сетки, которые распознаются нами как поверхности. С нашей Вселенной дела обстоят иначе, она устроена гораздо сложнее.
Давайте тогда рассмотрим такой случай:
Если мы будем продолжать применять создавшее эту картину правило еще много много раз, получим ли мы что-то вроде пространства, и если да, то сколько измерений будет у такого пространства? Чтобы получить ответ на этот вопрос, мы должны определить не допускающий возражений способ определения количества измерений. Но помните, нарисованные мною картинки — это просто визуализация структуры, являющейся сгустком дискретных отношений или гиперграфом без какой-либо информации о координатах, геометрии или даже топологии. Отдельно подчеркну, что этот граф можно отрисовать еще кучей разных способов:
Для того, чтобы определить количество измерений, нам нужно вспомнить, что площадь круга вычисляется как πr^2, а объем сферы как 4/3 π r^3. В общем случае, «объем» d-мерного аналога сферы равен константе умноженной на r^d. Давайте вернемся к нашему гиперграфу и выберем случайную начальную точку. Затем мы обведем r гиперребер всеми возможными способами. Таким образом у нас получается аналог «сферического шара» на гиперграфе. Вот примеры гиперграфов, соответствующих двухмерным и трехмерным пространственным решеткам:
И если вы посчитаете количество точек, достигнутых обводкой «графовым радиусом r», вы обнаружите, что их количество в данных двух случаях растет как r^2 и r^3 соответственно. Таким образом мы получаем способ определения измерения нашего гиперграфа. Просто начинаем в определенной точке и смотрим, как много точек мы можем достигнуть, обрисовывая r ребер:
Теперь чтобы определить точное значение кол-ва измерений, нам нужно соотнести получившийся результат с r^d. Нужно учитывать, что не стоит брать слишком маленький r, при котором структура графа может сильно повлиять на результат, или слишком большой r, при котором мы можем упереться в край. Также мы должны учитывать как это «пространство» эволюционирует с каждой итерацией. Учитывая эти ограничения, мы можем провести серию расчетов для точного определения измерений. Проведя расчет для рассматриваемого нами выше примера, мы получим число измерений примерно равное 2.7:
Если мы проделаем то же самое для вот этого графа:
Количество измерений стремится к 2-м, как и должно:
Но что означает нецелое значение числа измерений? Давайте рассмотрим фракталы, которые мы легко можем создать с помощью такого правила:
{{x, y, z}} → {{x, u, w}, {y, v, u}, {z, w, v}}Если мы замерим количество измерений для этого фрактала, то получим log2(3)=1.58 — обыкновенное нецелое измерение для треугольника Серпинского:
Из рассматриваемого нами выше правила не получается такой же ровной структуры как эта. Фактически, даже если правило само по себе полностью детерминировано, порождаемая им структура может быть совершенно случайной формы. Но наши измерения предполагают, что при достаточном количестве итераций это правило производит на свет что-то похожее на 2.7-мерное пространство.
Разумеется, 2.7 это не 3, и по-видимому это конкретное правило не является правилом нашей Вселенной (хотя не известно какое количество измерений получится у этого пространства, если мы прогоним это правило хотя бы
10^100 итераций). Но определение количества измерений показывает пример того, как мы можем начать делать физические предположения о поведении наших правил.Кстати, мы говорили о «появлении пространства» в наших моделях, но в действительности таким образом появляется не только пространство, но и все остальное, что есть во вселенной. В современной физике пространство описано многообразно и служит, так сказать, фоном для всего остального: материи, частиц, планет и так далее.
Но в наших моделях в известном смысле нет ничего кроме пространства: то есть все во Вселенной должно «состоять» из пространства. Или если перефразировать, то тот же самый гиперграф, который порождает пространство, порождает также и все остальное, что существует в этом пространстве. Это значит, что, например, частица вроде электрона или фотона должна соответствовать какому-то простому свойству гиперграфа. Как вот в этом игрушечном примере:
По моим оценкам, в
10^200 раз больше сил гиперграф тратит на «поддержку» структуры пространства, чем на «поддержку» всей существующей во Вселенной материи.Искривление пространства и уравнения Эйнштейна
Вот простые примеры некоторых структур, которые порождаются нашими правилами:
Все они похожи на поверхности, но они очевидно разные. И единственный способ как-то характеризовать их — по их локальной кривизне. Получается, что в наших моделях искривление — это концепт, тесно связанный с количеством измерений. Этот факт критически важен для понимания, например, того, почему возникает гравитация.
Но для начала, давайте поговорим о том, как можно измерить кривизну гиперграфа. Обычно площадь круга равна
πr^2 Но давайте представим, что мы нарисовали круг на поверхности сферы и теперь мы пытаемся найти его площадь:Теперь площадь не равна
πr^2. Вместо этого она высчитывается по формуле πr^2 \* (1 - r^2/12a^2 + r^4/360a^4 - ...), в которой a — это радиус сферы. Другими словами, чем больше становится радиус нарисованного круга, тем больше на его площадь влияет тот факт, что он нарисован на поверхности сферы. Представьте круг, нарисованный на глобусе вокруг Северного Полюса — самый большой из таких возможных кругов пройдет по экватору.Если мы обобщим эту формулу для d измерений, то получится такая формула роста «объема»:
r^d(1-Rr^2/6(d+2)+...), где R — это математический объект, называющийся скалярной кривизной Риччи.Это означает, что если мы рассмотрим скорость роста сферических шаров в нашем гиперграфе, мы можем ожидать двух соответствий: во-первых эта скорость соответствует
r^d, во-вторых «коррекция» этой скорости благодаря искривлению равна r^2.Вот пример. Вместо оценки количества измерений (в данном случае равному 2), мы описываем плавно опускающуюся переменную, соответствующую положительной (как у сферы) кривизне поверхности:
Но в чем значение кривизны? Во-первых она имеет применение в геодезии. Геодезическая линия — это наикратчайшее расстояние между двумя точками. В плоском пространстве это прямая, но в искривленном пространстве геодезические линии тоже искривлены:
В случае положительной кривизны пучки геодезических линий сходятся, в случае отрицательной кривизны они расходятся. Даже учитывая то, что геодезические линии были изначально определены для непрерывного пространства, они могут присутствовать и в графах. Для графов определение геодезической линии точно такое же — это наикратчайший путь между двумя точками на графе.
Вот геодезические линии на поверхности с положительным искривлением, порожденной одним из наших правил:
А вот геодезические линии в более сложной структуре:
Почему эти геодезические линии так важны? Причина в том, что в общей теории относительности Эйнштейна свет распространяется по траектории, соответствующей геодезическим линиям. И гравитация в этой теории соотносится с кривизной пространства. То есть когда что-нибудь отклоняется от траектории вокруг Солнца, то это происходит потому что пространство вокруг Солнца искривлено и геодезическая линия этого предмета так же искривлена.
Описание искривления пространства в общей теории относительности основывается на скалярной кривизне Риччи R, о которой мы говорили выше. Но если мы хотим понять, как наши модели воспроизводят уравнения Эйнштейна для гравитации, мы должны выяснить, что кривизна Риччи, получающаяся из наших гиперграфов соответствует кривизне, предполагаемой теорией относительности.
Здесь нам придется прибегнуть к небольшим математическим изысканиям (например, мы будем рассматривать кривизну пространства-времени, а не просто пространства). Вкратце, в различных пределах и при определенных допущениях наши модели действительно воспроизводят уравнения Эйнштейна. Сначала мы воспроизведем уравнения для вакуума без материи. Затем, когда мы будем обсуждать природу материи, мы увидим, что мы действительно получим полные уравнения Эйнштейна.
Это очень непростая задача — воспроизвести уравнения Эйнштейна. Обычно в физике все начинается с этих уравнений, но у нас они появляются из свойств самой модели.
Я думаю, стоит немного рассказать про то, как работает этот вывод. Это что-то похожее на вывод уравнений потока жидкости из уравнений динамики множества дискретных молекул, из которых эта жидкость состоит. В нашем случае, мы вычисляем скорее структуру пространства нежели скорость жидкости. Хотя для этого нам нужно сделать ряд очень похожих математических приближений и допущений. Примем, к примеру, что случайность, присутствующая в системе, годна для того, чтобы к ней была хорошо применима статистика. Также есть еще куча хитрых математических ограничений. Например, расстояния должны быть огромны по сравнению с длиной ребра гиперграфа, но достаточно маленькими по сравнению с общим размером графа, и так далее.
Достаточно часто физики «забивают» на математические тонкости. Например, около века такое продолжалось в случае с получением уравнений потока жидкости из молекулярной динамики. И нас можно обвинить в том же самом. По-другому говоря, нужно сделать еще довольно много математической работы, чтобы наш вывод был действительно строгим и тщательным, и мы в точности понимали бы его границы применимости.
Кстати, говоря о математике, даже имеющаяся у нас структура интересна. Математический анализ был разработан для работы в простом непрерывном пространстве (многообразия, которые приближены к Евклидовому пространству). Но то, что есть у нас — иное: в пределах бесконечно большого гиперграфа мы имеем нечто, очень похожее на непрерывное пространство, но обыкновенный матанализ неприменим (как минимум потому что у нашего гиперграфа может быть нецелый показатель количества измерений). Так что нам нужно изобрести некое обобщение математического анализа, которое, к примеру, может иметь дело с искривлением нецело-мерного пространства. Наверное, самая близкая к этой задаче область современной математики — геометрическая теория групп.
Кстати, нужно отметить, что существует много тонкостей в нахождении компромисса между изменением размерности пространства и наличием кривизны в нем. И несмотря на то, что нам кажется, что мы живем в трехмерной Вселенной, вполне возможны локальные отклонения и скорее всего существовали громадные отклонения в ранней Вселенной.
Время
В наших моделях пространство определено структурой гиперграфа, отображающего множество абстрактных отношений. Но что же такое время?
В прошлом столетии в фундаментальной физике была принята точка зрения, что время «подобно пространству», и что нам следует соединять время и пространство в одну сущность и говорить о пространственно-временном континууме. И теория относительности указывает в данном направлении. Но если и был один «поворот не туда» в истории физики в прошлом веке, я думаю, это было предположение, что время и пространство имеют родственную природу. И несмотря на то, что в наших моделях это не так, как мы увидим, относительность прекрасно из них выводится.
Так что же тогда такое время? По сути, оно в точности такое, как мы его чувствуем: неумолимый процесс протекания событий и их влияния на последствия. Но в наших моделях оно является нечтом гораздо более точным: это последовательное применение правил, которые постоянно изменяют абстрактную структуру, определяющую содержимое вселенной.
Модель времени в наших моделях в некотором смысле очень вычислительная. По прошествии времени мы фактически видим результаты все большего числа шагов в вычислении. И действительно, феномен вычислительной несократимости подразумевает, что этим процессом «достигается» нечто определенное и несокращаемое. (И, например, несократимость — это то, что я считаю ответственным за «шифрование» начальных условий и связанным с законом увеличения энтропии и термодинамической стрелой времени.) Само собой разумеется, что современной информатики не существовало сто лет назад, когда было введено «пространство-время», а ведь история физики могла бы быть совершенно другой.
В наших моделях время — это просто последовательное применение правил. Но в том, как оно работает, есть тонкость, которая на первый взгляд может показаться мелочью, но на самом деле она оказывается ключом как к теории относительности, так и к квантовой механике.
В начале этой статьи я говорил о правиле:
{{x, y}, {x, z}} → {{x, z}, {x, w}, {y, w}, {z, w}}и показал первые несколько шагов применения этого правила:
Но как именно применялось правило? Что «внутри» этих шагов? Правило определяет, как взять два ребра в гиперграфе (который в данном случае фактически является просто графом) и преобразовать их в четыре новых ребра, создав тем самым новый элемент. Таким образом, каждый «шаг», который мы показали ранее, на самом деле состоит из нескольких отдельных «событий обновления» (здесь новые добавленные соединения выделены, а те, которые собираются удалить, отмечены пунктиром):
Это не единственная последовательность событий обновления, соответствующая правилу. Правило просто говорит, что нужно найти два соседних соединения, и если есть несколько возможных вариантов, ничего не говорится о том, какое из них «правильное». И основная идея в нашей модели — просто реализовать их все.
Мы можем представить это в виде графа, показывающего все возможные пути:
Для самого первого обновления есть две возможности. Затем для каждого из этих результатов есть четыре дополнительных возможности. Но при следующем обновлении происходит кое-что интересно: две ветки сливаются. Другими словами, даже если мы выполнили разные последовательности обновлений, результат — один и тот же.
Все быстро усложняется. Вот граф после еще одного обновления:
Так как это связано со временем? В нем говорится, что в основном утверждении модели есть не только один путь времени, есть много путей и много «историй». Но модель — и используемое правило — определяет их все. И мы увидели намек на кое-что еще: даже если мы можем подумать, что следуем «независимым» путем истории, он может фактически слиться с другим путем.
Чтобы объяснить, как все это работает, потребуются дополнительные исследования и дискуссии. Но пока позвольте мне сказать, что выясняется, что время — это причинно-следственные связи между событиями, и что на самом деле, даже когда исторические пути различаются, эти причинно-следственные связи могут оказаться одинаковыми. И по сути, для наблюдателя, встроенного в систему, остается только один поток времени.
Граф причинно-следственных связей
В итоге все выглядит чудесно элегантно. Но чтобы добраться до точки, где мы сможем понять всю большую картину, нам нужно подробнее разобрать некоторые аспекты. (Неудивительно, что фундаментальная теория физики — неизбежно построенная на очень абстрактных идеях — несколько сложна для объяснения, но иначе и быть не могло.)
Чтобы не усложнять задачу, я не буду говорить напрямую о правилах, действующих с гиперграфами. Вместо этого я собираюсь поговорить о правилах, которые работают со строками символов.
Скажем, у нас есть правило:
{A → BBB, BB → A}Это правило гласит, что везде, где мы видим A, мы можем заменить его на BBB, и везде, где мы видим BB, мы можем заменить его на A. Итак, теперь мы можем сгенерировать то, что мы называем ветвящейся системой для этого правила, и нарисовать «граф ветвлений», который отображает все, что может случиться:
На первом шаге единственная возможность — использовать A → BBB для замены A на BBB. Но далее есть две возможности: заменить либо первый BB, либо второй BB — и эти варианты дают разные результаты. Однако на следующем этапе все, что можно сделать — это заменить букву A — в обоих случаях получая BBBB.
Другими словами, хотя в некотором смысле у нас было два исторических пути, которые расходились в системе ветвлений, потребовался всего один шаг, чтобы они снова слились. И если вы проследите рисунок выше, то обнаружите, что это всегда происходит с этим правилом: каждая создаваемая пара ветвей всегда сливается, в данном случае после еще одного шага.
Такой баланс между ветвлением и слиянием — явление, которое я называю причинно-следственной инвариантностью. И хотя в данном случае это может показаться мелочью, на самом деле оказывается, что это свойство наших моделей объясняет, почему работает теория относительности, почему в квантовой механике существует объективная реальность и множество других основных вопросов фундаментальной физики.
Давайте объясним, почему я называю это свойство причинно-следственной инвариантностью. На картинке выше показано, какое «состояние» (то есть какая строка) приводит к какому другому. Но рискуя усложнить картину (и обратите внимание, что это невероятно просто по сравнению со случаем полного гиперграфа), мы можем аннотировать многопутевой граф, включив в него события обновления, которые приводят к каждому переходу между состояниями:
Теперь мы можем задаться вопросом: каковы причинно-следственные связи между этими событиями? Другими словами, какое событие должно произойти, прежде чем может произойти какое-то другое событие? Или, другими словами, какие события должны были произойти, чтобы создать входные данные, необходимые для какого-то другого события?
Давайте пойдем еще дальше и аннотируем граф выше, показав все причинно-следственные зависимости между событиями:
Оранжевые линии показывают, какое событие должно произойти перед каким другим событием — или каковы все причинно-следственные связи в системе ветвлений. И да, это выглядит сложно. Но обратите внимание, что эта картина показывает всю систему ветвлений со всеми возможными историческими путями, а также всю сеть причинно-следственных связей внутри этих путей и между ними.
Но самое важное в причинной инвариантности то, что она подразумевает, что на самом деле граф причинно-следственных связей один и тот же, независимо от того, по какому историческому пути вы идете. И именно поэтому я первоначально назвал это свойство причинно-следственной инвариантностью — потому что в нем говорится, что с таким правилом, причинно-следственные свойства инвариантны по отношению к различным вариантам последовательности, в которой выполняется обновление.
И если еще раз взглянуть на рисунок выше (и пройти еще несколько шагов), можно обнаружить, что для каждого историческом пути причинно-следственный граф, отображающий причинно-следственные связи между событиями, всегда будет иметь вид:
или, мы можем нарисовать его по-другому:
Важность причинно-следственной инвариантности
Чтобы лучше понять причинной-следственную инвариантность, полезно рассмотреть еще более простой пример: случай правила BA → AB. Это правило гласит, что каждый раз, когда в строке стоит буква B, за которой следует A, поменяйте местами эти символы. Другими словами, это правило пытается отсортировать строку в алфавитном порядке, по два символа за раз.
Допустим, мы начнем с BBBAAA. А вот граф ветвлений, показывающий все, что может произойти в соответствии с этим правилом:
Существует множество различных путей, по которым можно идти, в зависимости от того, к какому BA в строке применяется правило на каждом шаге. Но важно то, что мы видим, что в конце концов все пути сливаются, и мы получаем единственный конечный результат: отсортированную строку AAABBB. И тот факт, что мы получаем этот единственный конечный результат, является следствием причинно-следственной инвариантности правила. В таком случае, когда есть конечный результат (а не просто постоянное развитие), причинно-следственная инвариантность гласит: не имеет значения, в каком порядке вы выполняете все обновления, результат, который вы получите, всегда будет одним и тем же.
Я ввел причинно-следственную инвариантность в контексте попытки найти модель фундаментальной физики — и понял, что она будет иметь решающее значение как для теории относительности, так и для квантовой механики. Но на самом деле то, что равносильно причинно-следственной инвариантности, было замечено и раньше в различных формах математики, математической логики и информатики. (Его наиболее распространенное название — «ассоциативность», хотя есть некоторые технические различия между этим и тем, что я называю причинно-следственной инвариантностью.)
Подумайте о раскрытии алгебраического выражения, например
(x + (1 + x)^2)(x + 2)^2. Неважно, в каком порядке вы будете выполнять шаги, вы всегда получите один и тот же результат (в данном случае 4 + 16x + 17x^2 + 7x^3 + x^4). И эта независимость порядков по сути является причинно-следственной инвариантностью.Еще один пример. Представьте, что у вас есть рекурсивное определение, скажем:
f[n_]:=f[n-1]+f[n-2] (c f[0]=f[1]=1). Теперь попробуем вычислить f[10]. Сначала вы получите f[9]+f[8]. Что вы вычислите потом: f[9] или f[8]? Это не имеет никакого значения. Результат всегда будет равен 55. И это еще один пример причинно-следственной инвариантности.Те, кто имеет опыт работы с параллельными или асинхронными алгоритмами, знают, что очень важно, имеет ли этот алгоритм причинно-следственную инвариантность. Потому что это означает, что можно делать что-то в любом порядке — скажем, в глубину, в ширину или что-то еще — и всегда получишь один и тот же ответ. То же самое происходит в нашем небольшом алгоритме сортировки выше.
Хорошо, но теперь вернемся к причинно-следственным связям. Вот система ветвлений для процесса сортировки с аннотациями всех причинно-следственных связей для всех путей:
Это беспорядок. Но поскольку существует причинно-следственная инвариантность, мы знаем кое-что очень важное: это просто множество копий одного и того же причинно-следственного графа — простой сетки:
Между прочим — как видно из рисунка — перекрестные связи между этими копиями нетривиальны, и позже мы увидим, что они связаны с глубокими отношениями между теорией относительности и квантовой механикой, которые, вероятно, проявляются в физике черных дыр. Но мы вернемся к этому позже…
Предполагается, что каждый другой способ применения правила сортировки дает один и тот же причинно-следственный граф. Итак, вот один пример того, как мы можем применить правило, начиная с конкретной начальной строки:
А теперь покажем граф причинно-следственных связей. И мы видим, что это просто сетка:
Вот еще три возможных последовательности обновлений:
Теперь мы видим причинно-следственную инвариантность в действии: хотя разные обновления происходят в разное время, граф причинно-следственных связей между событиями обновления всегда один и тот же. И, увидев это — в контексте очень простого примера, — мы готовы поговорить о специальной теории относительности.
Вывод специальной теории относительности
Как правило, занимаясь наукой, вы представляете, как проводите эксперимент над системой, но вы — как «наблюдатель» — находитесь вне системы. Конечно, если вы думаете о моделировании всей вселенной и всего в ней существующего, это не совсем разумный способ думать о системе. Потому что наблюдатель неизбежно является частью Вселенной, и поэтому его нужно моделировать, как и все остальное.
В наших моделях это означает, что «разум наблюдателя», как и все остальное во Вселенной, должен обновляться через серию событий. Для наблюдателя нет абсолютного способа узнать, что происходит во Вселенной. Все, что они когда-либо испытывали, — это серия событий обновления, на которые могут повлиять события обновления, происходящие где-то в другом месте вселенной. Или, говоря иначе, все, что наблюдатель может когда-либо наблюдать, — это сеть причинно-следственных связей между событиями — или причинно-следственный граф, о котором мы говорили.
В качестве игрушечной модели давайте посмотрим на наше правило BA → AB для строк. Можно представить себе, что строка лежит в пространстве. Но единственное, что видит наш наблюдатель — это причинно-следственный граф, который представляет причинно-следственные связи между событиями. А для системы BA → AB это можно сделать следующим образом:
Но теперь давайте подумаем о том, как наблюдатели могут «ощутить» этот причинно-следственный граф. Наблюдатель сам по себе обновляется посредством некоторой последовательности событий. Но даже несмотря на то, что это «действительно то, что происходит», чтобы понять это, мы можем представить, что наши наблюдатели создают внутренние «ментальные» модели того, что они видят. И для таких наблюдателей, как мы, довольно естественно просто сказать: «Один набор событий происходит по всей вселенной, затем другой и так далее». И мы можем перевести это на человеческий, сказав, что мы представляем серию «моментов» во времени, когда вещи происходят «одновременно» по всей вселенной — по крайней мере, с некоторыми соглашениями для определения того, что мы подразумеваем под одновременным. (И да, эти идеи сходны с идеями Эйнштейна в то время, когда он создал специальную теорию относительности.)
Вот возможный способ сделать это:
Это можно описать как «слоение» причинно-следственного графа. Мы делим причинно-следственный граф на срезы. И каждый срез наши наблюдатели могут рассматривать как «последовательный момент времени».
Важно отметить, что есть некоторые ограничения на выбор слоения. Причинно-следственный граф определяет, какое событие должно произойти до чего. И если у наших наблюдателей будет шанс осмыслить мир, лучше всего, если их представление о ходе времени согласуется с тем, что говорит причинно-следственный граф. Так, например, это слоение не будет работать — потому что оно говорит, что время, которое мы назначаем событиям, не согласуется с порядком, в котором они должны произойти:
Какой фактический порядок обновления событий подразумевает приведенное выше слоение? По сути, как можно больше событий должно происходить одновременно (то есть в одном и том же срезе слоения), как на этой картинке:
Теперь давайте свяжем это с физикой. Слоение, которое у нас было выше, относится к наблюдателям, которые каким-то образом «неподвижны по отношению ко Вселенной» («космологическая система покоя»). Можно представить себе, что с течением времени события, которые переживает конкретный наблюдатель, помещаются в столбец, идущий вертикально вниз по графу:
Но теперь давайте подумаем о наблюдателе, который равномерно движется в пространстве. У них будет другая последовательность событий, например такая:
А это значит, что слоение, которое они построят естественным образом, будет другим. «Со стороны» мы можем нарисовать это на причинно-следственном графе следующим образом:
Но для наблюдателя каждый срез представляет собой последовательный момент времени. И у них нет никакого способа узнать, как был нарисован причинно-следственный граф. Таким образом, они построят свою собственную версию с горизонтальными срезами:
Теперь мы видим чисто геометрический факт: чтобы произвести эту перестановку, сохраняя при этом базовую структуру (а здесь и углы) причинно-следственного графа, каждый момент времени нужно отбирать меньше событий в причинном графе c коэффициэнтом
sqrt(1 - β^2), где β равно угол, который представляет скорость наблюдателя.Если вы что-то понимаете в специальной теории относительности, то вы узнаете многое из этого. То, что мы называем слоениями, соответствует «системам отсчета» теории относительности. И наши слоения, представляющие движение, являются стандартными инерциальными системами отсчета специальной теории относительности.
Здесь есть особенно интересный момент: мы можем интерпретировать все это обсуждение слоений и систем отсчета с точки зрения реальных правил эволюции нашей базовой системы. Итак, вот эволюция нашей системы сортировки строк в инерциальной системе отсчета, соответствующей наблюдателю, движущемуся с определенной скоростью:
Из-за причинно-следственной инвариантности не имеет значения, что мы находимся в другой системе отсчета — причинно-следственный граф для системы (и способ, которым он в конечном итоге сортирует строку) точно такой же.
Основная идея специальной теории относительности состоит в том, что законы физики работают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Но почему это должно быть правдой? Что ж, в наших системах есть ответ: это следствие причинно-следственной инвариантности основных правил. Другими словами, из свойства причинно-следственной инвариантности мы можем вывести относительность.
Обычно в физике относительность вводится путем установления математической структуры пространства-времени. Но в наших моделях мы не делаем ничего подобного, и на самом деле пространство и время вовсе не одно и то же. Теперь мы видим, что из-за причинно-следственной инвариантности в наших моделях появляется относительность со всеми связями между пространством и временем, которые она подразумевает.
Так, например, если мы посмотрим на изображение нашей системы сортировки строк выше, мы увидим релятивистское замедление времени. Фактически, из-за выбранного нами слоения время течет медленнее. Или другими словами, в стремлении ускорить выборку пространства наш наблюдатель испытывает более медленное обновление системы во времени.
Скорость света c в нашей игрушечной системе определяется максимальной скоростью, с которой может распространяться информация, которая определяется правилом, а в случае этого правила — один символ за шаг. Таким образом, мы можем сказать, что наше слоение соответствует скорости равной 0.3 скорости света. Но теперь мы можем посмотреть на формулу замедления времени для нашего графа
1 / sqrt(1 - v^2/c^2), и это именно та формула, о которой говорится в теории относительности.Кстати, если мы представим, что пытаемся заставить нашего наблюдателя двигаться «быстрее света», мы увидим, что это не сработает. Потому что на нашей картинке нет способа наклонить слоение более чем на 45 ° и при этом сохранить причинно-следственные связи.
Итак, из нашей игрушечной модели мы можем вывести специальную теорию относительности. Но вот в чем дело: этот вывод работает не только в игрушечной модели — он применим к любому правилу, имеющему причинно-следственную инвариантность. Таким образом, даже если мы имеем дело с гиперграфами, а не со строками, и существует правило, имеющее причинно-следственную инвариантность, то (с различными оговорками, в основном о возможной cлучайности в причинно-следственном графе) оно будет демонстрировать релятивистскую инвариантность, а основанная на нем физика будет следовать специальной теории относительности.
Энергия и масса
В нашей модели все во Вселенной — пространство, материя и т.д. — должно быть представлено свойствами нашего развивающегося гиперграфа. Есть ли в этом гиперграфе масса и энергия?
Хотя это широко распространенная концепция в современной физике, я никогда не считал энергию чем-то фундаментальным. Это просто атрибут, который может быть у объектов (атомов, фотонов, чего угодно). Я никогда не думал об энергии и массе как о чем-то, что можно абстрактно идентифицировать в самой структуре вселенной.
Поэтому для меня стало большим сюрпризом наше недавнее открытие, что на самом деле в нашей модели есть кое-что, на что мы можем показать пальцем и сказать «Это энергия!». Техническое утверждение: энергия соответствует потоку причинно-следственных ребер через пространственные гиперповерхности. И, кстати, импульс соответствует потоку причинно-следственных ребер через временные гиперповерхности.
Что это все означает? Во-первых, что такое пространственная гиперповерхность? Это стандартное понятие в общей теории относительности, которому есть прямая аналогия в наших моделях. Это то, что образует срез в нашем слоении. Мы можем выделить два вида направлений: пространственное и временное.
Пространственное направление предполагает простое перемещение в пространстве, и это направление, в котором всегда можно повернуть вспять и вернуться. Временное направление — это направление, которое предполагает также движение во времени, куда нельзя вернуться. Мы можем отметить пространственные гиперповерхности сплошной линией, а временные прерывистой в причинном графе нашей игрушечной модели:
(Их можно назвать «поверхностями», хотя «поверхности» обычно считаются 2-мерными, а наша 3-пространственная + 1-мерная вселенная, эти слои слоения являются 3-мерными: отсюда и термин «гиперповерхности».)
Теперь давайте еще раз взглянем на картинку. «Причинно-следственные ребра — это причинно-следственные связи между событиями, показанные на рисунке в виде линий, соединяющих события. Поэтому, когда мы говорим о потоке причинно-следственных ребер через пространственные гиперповерхности, мы говорим о количестве ребер, которые проходят через горизонтальные срезы на изображениях.
В игрушечной модели это увидеть несложно. Но вот гораздо более сложный причинно-следственный граф из другой довольно простой модели:
Если мы начертим слоение на этом графе (тем самым определяя нашу систему отсчета), мы можем начать подсчет количества причинно-следственных ребер, проходящих вниз через последовательные пространственные срезы:
Мы также можем посмотреть, сколько причинно-следственных ребер проходит «вбок» через временные гиперповерхности:
Почему мы думаем, что эти потоки ребер соответствуют энергии и импульсу? Представьте, что произойдет, если мы изменим слоение, скажем, наклоним его, чтобы оно соответствовало движению с некоторой скоростью, как мы делали это в предыдущем разделе. Мы выясняем, что наши потоки причинно-следственных ребер соотносятся со скоростью так же, как расстояние и время в предыдущем разделе.
Релятивистская механика говорит о том, что энергия должна соотносится со скоростью точно так же, как время со скоростью, а импульс с расстоянием. Теперь нам известна причина. Это фундаментальное следствие всей нашей системы и причинно-следственной инвариантности. В традиционной физике часто говорят, что положение в пространстве — это переменная, сопряженная с импульсом, а энергия сопряжена со временем. И это задано в математической структуре теории. Но здесь мы не просто объявляем это как аксиому. Это следствие само собой вытекает из нашей модели.
А это значит, что мы можем узнать гораздо больше. Например, мы можем задаться вопросом, что такое «ноль энергии». В конце концов, если мы посмотрим на один из наших причинно-следственных графов, многие причинно-следственные ребра на самом деле просто идут на «поддержание структуры пространства». Так что, если в каком-то смысле пространство однородно, с ним неизбежно связан однородный «фоновый поток» причинно-следственных ребер. И то, что мы считаем энергией, соответствует колебаниям этого потока вокруг его фонового значения.
Кстати, стоит упомянуть, чему соответствует поток причинно-следственных ребер. Каждое причинно-следственное ребро представляет собой связь между событиями, которая «переносится» некоторым элементом в пространственном гиперграфе. Таким образом, поток причинно-следственных ребер — это, по сути, передача активности (то есть событий) либо во времени (то есть через пространственные гиперповерхности), либо в пространстве (то есть через временные гиперповерхности). И мы можем сказать, что энергия связана с активностью в гиперграфе, который распространяет информацию во времени, в то время как импульс связан с активностью, которая распространяет информацию в пространстве.
У наших причинно-следственных графов существует одна фундаментальная особенность, о которой мы еще не упомянули, — она связана с распространением информации. Начните с любой точки (с любого события) причинно-следственного графа. Затем проследите причинно-следственные связи этого события. У вас получится что-то вроде конуса (здесь только в 2D):
Он соответствует такому понятию физики, как световой конус. Предположим, мы нарисовали наш граф так, что события каким-то образом расположены в пространстве, тогда световой конус покажет, как информация (передаваемая светом) может распространяться в пространстве со временем.
Когда причинно-следственный граф усложняется, усложняются и световые конусы. Мы обсудим связь этого явления с черными дырами позже. Пока мы можем просто сказать, что в нашем причинно-следственном графе есть конусы, и, по сути, угол этих конусов представляет собой максимальную скорость распространения информации в системе, которую мы можем отождествить с физической скоростью света.
Фактически, мы можем не только увидеть световые конусы в нашем причинно-следственном графе: в некотором смысле мы можем думать обо всем нашем причинно-следственном графе как о большом количестве «элементарных световых конусов», связанных вместе. И, как мы уже упоминали, большая часть построенной структуры обязательно идет на «поддержание структуры пространства».
Но давайте повнимательнее посмотрим на наши световые конусы. На их границах есть причинно-следственные ребра, которые действительно соответствуют распространению со скоростью света — и которые, с точки зрения лежащего в основе гиперграфа, соответствуют событиям, которые «достигают» и «захватывают» новые элементы так быстро, как возможно. Но как насчет вертикальных причинно-следственных ребер? Эти ребра связаны с событиями, которые в некотором смысле повторно используют элементы в гиперграфе, без привлечения новых.
И похоже, что эти причинно-следственные ребра имеют важное толкование: они связаны с массой (или, точнее, массой покоя). Итак, полный поток причинных ребер через пространственные гиперповерхности соответствует энергии. А поток причинно-следственных связей во временном направлении соответствует массе покоя. Мы можем увидеть, что произойдет, если мы немного наклоним нашу систему отсчета, что соответствует скорости
v ≪ c Довольно легко вывести формулы для импульса (p) и энергии (E). Скорость света c входит в формулы, поскольку она определяет отношение «горизонтальных» (то есть пространственных) к «вертикальным» (то есть временным) линиям на причинном графе. А для v достаточно малой по сравнению с c получаем:p = mv + ...E = mc^2 + 1/2 m\*v^2 + ...Итак, из этих формул мы можем видеть, что, просто исследуя причинно-следственные графы (и, да, с учетом причинно-следственной инвариантности и целого ряда подробных математических ограничений, которые мы здесь не обсуждаем), нам удалось вывести основной (и известный) факт о соотношении энергии и массы:
E = mc^2В стандартных теориях физики это отношение выглядит скорее аксиомой, чем чем-то, что можно вывести. Но в нашей модели это не так.
Общая теория относительности и гравитация
Ранее мы говорили о том, как в наших моделях возникает искривление пространства. Но тогда мы просто говорили о «пустом пространстве». Теперь мы можем вернуться и поговорить о том, как кривизна взаимодействует с массой и энергией в пространстве.
Выше мы говорили о построении сферических шаров, начиная с некоторой точки гиперграфа, а затем следуя всем возможным последовательностям r ребер. Но теперь мы можем сделать что-то прямо аналогичное в графе причин и следствий: начать с некоторой точки и проследить возможные последовательности t связей. Мы получаем «объемы световых конусов».
Если пространство d-мерно, то этот объем будет приближенно расти как
t^(d+1). Но, как и в случае с пространством, есть поправочный член, на этот раз пропорциональный так называемому тензору Риччи Ruv. (Фактическое выражение примерно t^(d+1)\*(1 - 1/6t(i)t(j)R(ij)), где t(i) соответствует временным векторам и т. д.)Мы также знаем кое-что еще о том, что находится внутри световых конусов: существуют не только «фоновые связи», поддерживающие структуру пространства, но также «дополнительные» причинно-следственные связи, связанные с энергией, импульсом и массой. И мы можем отождествить их плотность с так называемым тензором энергии-импульса T(uv). Таким образом, в итоге у нас есть два вклада в «объемы» наших световых конусов: один от «чистой кривизны» и один от энергии-импульса.
Опять же, здесь нам понадобится немного математики. Но главное — думать о пределе, когда мы смотрим на очень большой причинно-следственный граф. Какое уравнение должно быть верным, чтобы иметь d-мерное пространство, а не что-то более необычное? Должно выполняться следующее уравнение:
R(uv) - 1/2 Rg(uv) = sigma T(uv)Это в точности уравнение Эйнштейна для кривизны пространства, в котором присутствует материя с определенной энергией и импульсом. Здесь мы упускаем из виду многие детали. Но все же, на мой взгляд, это весьма впечатляюще: исходя из базовой структуры наших очень простых моделей, мы можем получить фундаментальный результат: уравнение, которое более ста лет прошло все испытания при описании гравитации.
Особо отмечу, что в только что приведенном уравнении нет так называемого космологического члена. И это связано с вопросом о том, что такое ноль энергии и какие свойства гиперграфа имеют прямое отношение к «поддержанию пространства», а какие — к материи в этом пространстве.
В современной физике ожидается, что даже в вакууме на самом деле существует формально бесконечная плотность пар виртуальных частиц. По сути, постоянно рождаются пары частиц и античастиц, которые быстро аннигилируют, но которые в совокупности создают огромную плотность энергии. Мы обсудим, как это связано с квантовой механикой позже. Но пока просто напомним, что частицы (например, электроны) в наших моделях соответствуют локальным стабильным структурам в гиперграфе.
Как «поддерживается пространство»? В основном, это происходит посредством всевозможных, казалось бы, случайных событий обновления в гиперграфе. Но в современной физике (или, в частности, в квантовой теории поля) мы должны описывать все в терминах (виртуальных) частиц. Поэтому, если мы попытаемся сделать это со всеми этими случайными событиями обновления, неудивительно, что мы в конечном итоге скажем, что происходит бесконечное множество событий. (Да, это можно сделать гораздо точнее; я просто даю здесь общую схему.)
Но тогда возникает непосредственная проблема: мы говорим, что существует формально бесконечная — или, по крайней мере, огромная — плотность энергии, которая должна существовать повсюду во Вселенной. Если мы затем посмотрим на уравнение Эйнштейна, мы сделаем вывод, что такая плотность должна производить достаточную кривизну, чтобы свернуть Вселенную в крошечный шар.
Один из способов найти выход из этого парадокса — ввести так называемый космологический член, а затем постулировать, что этот член имеет такое значение, чтобы можно было принять за нулевую плотность энергии от виртуальных частиц. Это определенно не лучшее решение.
В наших моделях все по-другому. То, что в нашей модели соответствует виртуальным частицам, на самом деле «создает пространство» и поддерживает его структуру. Конечно, все детали зависят от конкретного основного правила. Но больше нет большой загадки относительно того, почему «энергия вакуума» в основном не разрушает нашу Вселенную — это потому, что она создает нашу Вселенную.
Черные дыры и сингулярность
Одно из главных предсказаний общей теории относительности — существование черных дыр. Существуют ли они в наших моделях? Конечно же да! Определяющей чертой черной дыры является наличие горизонта событий: границы, которую световые сигналы не могут пересечь, и где причинно-следственная связь фактически нарушена.
В наших моделях мы можем заметить, как это происходит в причинно-следственном графе. Вот пример:
Вначале все причинно связано. Но в какой-то момент причинно-следственный граф расщепляется — и появляется горизонт событий. События, происходящие в одной части графа, не могут повлиять на другие. Вот как область Вселенной может «причинно отколоться», образуя нечто вроде черной дыры.
Но на самом деле в наших моделях «отрыв» может быть еще более экстремальным. Не только причинно-следственный граф может разделиться — пространственный гиперграф может отбрасывать отдельные части, каждая из которых, по сути, образует целую «отдельную вселенную»:
Кстати, интересно посмотреть, что происходит со слоями, которые видят наблюдатели, при существовании горизонта событий. Причинно-следственная инвариантность говорит, что расходящиеся пути в причинном графе всегда должны со временем сливаться. Но если пути идут в разные несвязанные части причинного графа, этого никогда не произойдет. Как это влияет на наблюдателей? Ну, по сути, им приходится «останавливать время». У них должно быть слоение, в котором последовательные временные отрезки просто накапливаются и никогда не входят в разъединенные части.
Это похоже на то, что происходит в общей теории относительности. Наблюдателю, находящемуся далеко от черной дыры, будет казаться, что нужно бесконечное время, чтобы что-нибудь упало в нее. Пока это просто феномен, связанный со структурой пространства. Но позже мы увидим, что это также прямой аналог чего-то совершенно другого: процесса измерения в квантовой механике.
Возвращаясь к гравитации: мы можем задавать вопросы не только о горизонте событий, но и о сингулярностях в пространстве-времени. В наших моделях это места, где множество путей в причинном графе сходятся в одну точку. В наших моделях мы можем сразу же изучить такие вопросы, как: всегда ли горизонт событий связан с какой-либо сингулярностью («гипотеза космической цензуры»).
Мы можем подумать о других странных феноменах из общей теории относительности. Например, есть замкнутые временные кривые, которые иногда рассматриваются как позволяющие путешествовать во времени. В наших моделях замкнутые временные кривые несовместимы с причинно-следственной инвариантностью. Но мы, конечно, можем изобрести правила, которые их порождают. Вот пример:
В этой системе ветвлений мы начинаем с одного «начального» состояния. Но по мере продвижения вперед мы можем войти в цикл, в котором мы неоднократно посещаем одно и то же состояние. И этот цикл также виден в причинно-следственном графе. Мы думаем, что «идем вперед во времени». Но на самом деле мы просто зацикливаемся, неоднократно возвращаясь в одно и то же состояние. И если бы мы попытались найти слоение, в котором мы могли бы описать время как всегда идущее, мы бы просто не смогли этого сделать.
Космология
В нашей модели Вселенная может начаться с крошечного гиперграфа — возможно, с одной петли. Но затем — по мере применения преобразовательного правила — она постепенно расширяется. При некоторых особенно простых правилах общий размер гиперграфа должен просто равномерно увеличиваться, при других он может колебаться.
Но даже если размер гиперграфа постоянно увеличивается, мы можем этого не замечать. Может получиться так, что практически все, что мы видим, тоже расширяется — так что в действительности гранулярность пространства становится все тоньше и тоньше. Это было бы интересным разрешением вековых споров о том, является ли Вселенная дискретной или непрерывной. Да, она структурно дискретна, но масштаб дискретности по отношению к нашему масштабу постоянно становится все меньше и меньше. И если это происходит достаточно быстро, мы никогда не сможем «увидеть дискретность», потому что каждый раз, когда мы пытаемся ее измерить, Вселенная фактически разделяется еще до того, как мы получим результат. (Каким-то образом это было бы похоже на окончательное доказательство эпсилон-дельта исчисления: вы бросаете вызов Вселенной с помощью эпсилон-дельты, и прежде чем вы сможете получить результат, Вселенная уменьшает дельту.)
Есть и другие возможности. Весь гиперграф Вселенной может постоянно расширяться, но части постоянно «отламываются», образуя черные дыры разных размеров и позволяя «главному компоненту» Вселенной изменяться в размере.
Но независимо от того, как такое расширение работает в нашей Вселенной сегодня, ясно, что если Вселенная началась с одной петли, ей пришлось бы сильно расширяться, по крайней мере, на начальном этапе. И здесь есть интересная возможность, имеющая отношение к пониманию космологии.
Наша нынешняя Вселенная представляет собой трехмерное пространство, но в наших моделях не существует причин, по которым ранняя Вселенная обязательно была такой же. В наших моделях могут происходить самые разные вещи:
В первом примере разные части пространства разделяются на несообщающиеся ветви. Во втором примере у нас есть что-то вроде обыкновенного двухмерного пространства. А в третьем примере пространство в некотором смысле очень сильно связано. Если вычислить объем сферического шара, он будет расти не как
r^d, он будет расти экспоненциально с увеличением r (например, как 2^r).Если мы посмотрим на причинно-следственный граф, мы увидим, что вы можете «путешествовать повсюду в пространстве» или очень быстро влиять на каждое событие. Как будто скорость света бесконечна. Но на самом деле это потому, что пространство фактически бесконечномерно.
В современной космологии остро стоит вопрос о том, как разные части ранней Вселенной умудрялись «общаться» друг с другом, чтобы сгладить возмущения. Ответ становится очевиден, если предположить, что Вселенная в начале была фактически бесконечномерной и только позже «расслабилась» до конечномерной.
Что во Вселенной сегодня является отражением событий, которые произошли на самом раннем этапе ее истории? Тот факт, что наши модели имеют довольно хаотичное поведение, означает, что большинство характеристик начальных условий или очень ранних стадий Вселенной будут быстро «зашифрованы», и их невозможно будет восстановить.
Но вполне возможно, что что-то вроде нарушения симметрии, связанного с первыми несколькими гиперграфами, может каким-то образом выжить. И это предполагает возможность того, что что-то вроде угловой структуры космического микроволнового фона или очень крупномасштабного распределения галактик может отражать дискретную структуру очень ранней Вселенной. Или, другими словами, вполне возможно, основное правило нашей Вселенной нарисовано по всему небу. Я считаю эту возможность крайне маловероятной, но, безусловно, было бы замечательно, если бы Вселенная «самодокументировалась» таким образом.
Элементарные частицы — старые и новые
Мы несколько раз говорили о таких частицах, как электроны. В современных физических теориях предполагается, что различные истинно элементарные частицы — кварки, лептоны (электрон, мюон, нейтрино и т. д.), калибровочные бозоны, бозоны Хиггса — по сути являются точечными частицами нулевого размера. В наших моделях это работает не так. По сути, частицы представляют собой «маленькие кусочки пространства», обладающие различными особыми свойствами.
Я предполагаю, что точный список существующих частиц зависит от конкретного основного преобразовательного правила. В клеточных автоматах, например, мы можем видеть, как возникают сложные наборы возможных локализованных структур:
В наших гиперграфах картина неизбежно будет несколько иной. Основным свойством каждой частицы будет некоторая локально стабильная структура в гиперграфе (простая аналогия — кусок «непланарности» в планарном графе). И тогда с частицей будет связано множество причинно-следственных ребер, определяющих ее конкретную энергию и импульс.
Тем не менее, основная характеристика частиц, по-видимому, будет определять такие вещи, как их заряд, квантовые числа и, возможно, спин — и тот факт, что эти вещи наблюдаются в дискретных единицах, может отражать тот факт, что только небольшой кусок гиперграфа участвует в их определении.
Довольно трудно понять, каков реальный масштаб дискретности пространства в наших моделях. Но возможная (хотя и потенциально ненадежная) оценка такова, что «элементарная длина» составляет около
10^–93 метра. (Обратите внимание, что это очень мало по сравнению с длиной Планка ~ 10^–35 метров, которая, по сути, является результатом анализа размерности.) И с этой элементарной длиной радиус электрона мог бы составлять 10^–81 метров. Крошечный, но не нулевой. (Обратите внимание, что текущие эксперименты говорят нам только о том, что размер электрона меньше 10^–22 метров.)Также наши модели предполагают существование «кванта массы» — дискретной величины, которой все массы, например, частицы, кратны. При нашей оценке элементарной длины этот квант массы был бы небольшим, возможно, в
10^–30, или в 10^36 раз меньше массы электрона.И здесь возникает интригующая гипотеза. Возможно, частицы, такие как электроны, о которых мы в настоящее время знаем, являются «большими». (По нашим оценкам, в электроне должны быть элементы гиперграфа.) И, возможно, есть гораздо меньшие и гораздо более легкие частицы. По сравнению с частицами, которые мы знаем в настоящее время, в таких частицах было бы немного элементов гиперграфа, поэтому я называю их «олигонами» (от греческого слова ὀλιγος, означающего «несколько»).
Какими свойствами будут обладать эти олигоны? Вероятно, они очень-очень слабо взаимодействуют с другими частицами во Вселенной. Скорее всего, в очень ранней Вселенной было произведено множество олигонов, но из-за их очень слабого взаимодействия они очень скоро «выпали из теплового равновесия» и остались в большом количестве в виде реликвий — с энергиями, которые будут постепенно уменьшаться по мере роста.
Так где же сейчас могут быть олигоны? Даже если другие их взаимодействия, вероятно, будут исключительно слабыми, они все равно будут подвержены гравитации. И если их энергия окажется достаточно низкой, они будут собираться в гравитационных колодцах по всей вселенной, то есть внутри и вокруг галактик.
И это особенно интересно в свете того, что сейчас существует большая загадка относительно количества наблюдаемой массы в галактиках. Похоже, что существует много «темной материи», которую мы не видим, но которая имеет гравитационные эффекты. Что ж, возможно это олигоны. Может быть, даже много разных видов олигонов: целый мир теней из гораздо более легких частиц.
Квантовая механика
«Но как вы получите квантовую механику?» — физики всегда спрашивали меня это, когда я описывал им ранние версии своих моделей. Во многих отношениях квантовая механика — это вершина существующей физики. Тем не менее, в ней всегда присутствовало определенное «от вас не ожидается, что вы поймете это» в сочетании с «просто верьте математическим формулам». И да, математические формулы позволяют нам производить расчеты. Эти расчеты часто бывают очень сложными — такими сложными, что именно они заставили меня начать использовать компьютеры для математических вычислений 45 лет назад.
Наше обычное впечатление о мире таково, что происходят определенные события. До квантовой механики классическая физика обычно фиксировала это в законах — обычно в уравнениях — которые рассказывали, что конкретно будет делать система. Но в квантовой механике предполагается, что любая конкретная система выполняет множество разных вещей «параллельно», а мы просто наблюдаем вероятные случаи этих возможностей.
О модели, в которой есть определенные правила, можно предположить, что она никогда не сможет воспроизвести квантовую механику. Но на самом деле, в наших моделях квантовая механика не просто возможна, она абсолютно неизбежна. И, как мы увидим позже, удивительно прекрасно то, что квантовая механика в своей сути оказывается очень близка к теории относительности.
Так как это все работает? Вернемся к тому, что мы обсуждали, когда впервые заговорили о времени. В наших моделях есть определенное правило для обновлений, которые необходимо внести в наши гиперграфы, например:
Но если у нас есть такой гиперграф:
обычно есть много мест, где можно применить это правило. Итак, какое обновление мы должны применить в первую очередь? Модель нам ничего не говорит об этом. Но давайте просто представим все возможности. Правило сообщает нам, что все они представляют из себя — и мы можем представить их (как мы обсуждали выше) как ветвистую систему — здесь это проиллюстрировано с использованием более простого случая строк, а не гиперграфов:
Каждый узел на этом графе представляет собой полное состояние нашей системы (гиперграф в наших реальных моделях). И каждый узел соединен стрелками с состоянием или состояниями, которые можно получить, применив к нему одно обновление.
Если бы наша модель работала как классическая физика, мы бы ожидали, что она будет прогрессировать во времени из одного состояния в другое, скажем так:
Но структура наших моделей не оставляет нам выбора, кроме как рассматривать системы ветвлений. Форма всей системы ветвлений полностью определяется правилами. Но в способе, который уже очень напоминает стандартный математический аппарат квантовой механики, система ветвлений определяет множество различных возможных путей истории.
Если всегда есть все эти различные возможные пути истории, как в мире происходят определенные вещи? Это было главной загадкой квантовой механики на протяжении столетия. Оказывается, если просто использовать квантовую механику для вычислений, ответ в принципе не имеет значения. Но если кто-то хочет по-настоящему понять, что происходит в квантовой механике, это определенно имеет значение.
И что самое интересное, в наших моделях есть очевидное решение. Оно основано на том же самом явлении — причинно-следственной инвариантности, являющаяся причиной относительности.
Вот примерно как это работает. Ключевой момент — думать о том, что наблюдатель, который сам является частью системы ветвлений, сделает вывод о мире. Да, есть разные возможные пути истории. Но — как и в нашем обсуждении теории относительности — единственный их аспект, который когда-либо осознает наблюдатель, — это причинно-следственные связи между событиями. Дело в том, что даже если «извне» пути выглядят разными, причинная инвариантность подразумевает, что сеть отношений между событиями (а это все, что имеет значение, когда человек находится внутри системы) всегда будет точно такой же.
Другими словами, как и в случае с относительностью, даже несмотря на то, что извне системы может показаться множество возможных «нитей времени», изнутри причинная инвариантность системы подразумевает, что в конечном счете существует только одна нить времени, или, по сути, одна объективная реальность.
Как все это соотносится с подробным стандартным математическим аппаратом квантовой механики? Это довольно сложные выкладки, но позвольте мне сделать здесь хотя бы несколько заметок на этот счет. (В моем техническом документе есть некоторые подробности; в своей работе Джонатан Горард дал даже больше.)
Состояния в системе ветвлений можно рассматривать как возможные состояния квантовой системы. Но как мы можем охарактеризовать то, как их воспринимают наблюдатели? В частности, о каких состояниях знает наблюдатель и когда? Как и в случае с относительностью, наблюдатель может в некотором смысле выбирать, как они определяют время. Одна из возможностей может заключаться в расслоении системы ветвлений, например так:
В терминах квантовой механики можно сказать, что каждый раз наблюдатель испытывает суперпозицию возможных состояний системы. По прямой аналогии со случаем теории относительности, существует множество различных возможных выборов, которые наблюдатель может сделать относительно того, как определять время, — и каждый из них соответствует разному слоению графа.
Опять же, по аналогии с теорией относительности, мы можем рассматривать эти варианты как различные «системы отсчета квантового наблюдения». Причинно-следственная инвариантность подразумевает, что до тех пор, пока они соблюдают причинно-следственные связи в графе, эти системы отсчета могут быть настроены так, как мы хотим. Говоря об относительности, было полезно иметь просто «наклонные параллельные линии» («инерциальные системы отсчета»), представляющие наблюдателей, которые равномерно перемещаются в пространстве.
Говоря о квантовой механике, можно использовать и другие системы отсчета. В частности, в стандартных терминах квантовой механики принято говорить о «квантовом измерении»: по сути, это акт взятия квантовой системы и определения из нее определенного (по сути классического) результата. Что ж, в нашей модели квантовое измерение в основном соответствует определенной квантовой системе наблюдения.
Вот пример:
Последовательные розовые линии означают то, что наблюдатель считает последовательными моментами времени. Итак, когда все линии сгруппированы ниже состояния ABBABB, это означает, что наблюдатель фактически «замораживает время» для этого состояния. Другими словами, наблюдатель говорит: «Я считаю, что это состояние системы, и я придерживаюсь его». Даже несмотря на то, что в полном графе происходят все виды другой «квантово-механической» эволюции состояний, наблюдатель настроил свою квантовую систему наблюдения так, что он получает только конкретное, определенное, классическое состояние в качестве результата.
Могут ли наблюдатели делать это постоянно? Что ж, это зависит от структуры графа, которая зависит от лежащего в ее основе правила. В приведенном выше примере мы создали слоение (то есть квантовую систему наблюдения), которая наилучшим образом выполняет это правило во «время замораживания» для состояния ABBABB. Но как долго можно поддерживать это «поле искажения реальности»?
Единственный способ сохранить целостность слоения в приведенном выше графе — это постепенно расширять его с течением времени. Другими словами, чтобы время оставалось замороженным, все больше и больше квантовых состояний необходимо втягивать в «поле искажения реальности», и поэтому в системе становится все меньше и меньше когерентности.
Картинка выше относится к очень тривиальному правилу. Вот соответствующее изображение для более реалистичного случая:
И здесь мы видим, что даже в этом все еще невероятно упрощенном случае структура многосторонней системы заставит наблюдателя построить все более и более сложное слоение, если он хочет успешно заморозить время. Измерение в квантовой механике всегда сопровождалось несколько неудобной математической идеализацией — и теперь это дает нам представление о том, что происходит на самом деле. (Ситуация в конечном итоге очень похожа на проблему расшифровки «зашифрованных» термодинамических начальных условий, о которой я упоминал выше.)
Квантовое измерение — это то, что воспринимает наблюдатель. Но если вы, например, пытаетесь построить квантовый компьютер, вопрос заключается не только в том, чтобы кубит воспринимался как поддерживаемый в определенном состоянии, его действительно нужно поддерживать в этом состоянии. А чтобы это произошло, нам нужно остановить время для этого кубита. Вот очень упрощенный пример того, как это может происходить в графе ветвлений:
Все эти разговоры о «замораживании времени» могут показаться странными и не похожими на все, о чем обычно говорят в физике. Но на самом деле, связь есть: замораживание времени, о котором мы здесь говорим, можно рассматривать как происходящее, потому что в пространстве квантовых ветвлений у нас есть аналог черной дыры в физическом пространстве.
У нас есть место, куда вещи попадают и застревают там на веки. Но это еще не все. Если вы являетесь наблюдателем вдали от черной дыры, то вы никогда не увидите, как что-либо упадет в черную дыру за конечное время (поэтому черные дыры иногда называют «замороженными звездами»). И причина этого как раз в том, что (согласно математике) время застыло на горизонте событий черной дыры. Другими словами, чтобы успешно создать кубит, вы должны изолировать его в квантовом пространстве так же, как частицы изолированы в физическом пространстве из-за горизонта событий черной дыры.
Общая теория относительности и квантовая механика — суть одна и та же!
Общая теория относительности и квантовая механика — две великие фундаментальные теории современной физики. В прошлом мы часто не могли соединить их вместе. Одним из прекрасных результатов нашего проекта стало осознание того, что на каком-то глубоком уровне общая теория относительности и квантовая механика фактически являются одной и той же идеей. Это ясно только в контексте наших моделей. Обе теории являются следствиями причинно-следственной инвариантности, просто применяемыми в разных ситуациях.
Вспомните наше обсуждение причинно-следственных графов в контексте теории относительности. Мы нарисовали слоения и сказали, что если мы посмотрим на определенный срез, он расскажет нам о расположении системы в пространстве в том, что мы считаем определенным моментом времени. Итак, теперь давайте посмотрим на графы ветвлений. В предыдущем разделе мы видели, что в квантовой механике нас интересуют их слоения. Но если мы посмотрим на конкретный срез одного из этих слоений, что он представляет из себя? В слоении есть несколько состояний. И оказывается, что мы можем думать о них как о расположенных в абстрактном виде пространства, которое мы называем «пространством ветвлений».
Чтобы понять это пространство, мы должны иметь способ сказать, что рядом с чем. Граф ветвлений позволяет нам сделать это. Взгляните:
На каждом срезе слоения нарисуем граф, в котором мы соединяем два состояния всякий раз, когда они оба являются частью одной и той же «пары ветвлений», так что, как здесь AA и ABB, они оба происходят из одного и того же состояния на срезе. Вот что мы получаем, делая это для последовательных срезов:
Мы называем эти графы «графами ветвлений». Мы можем думать о них как о корреляции — или запутанности — квантовых состояний. Два соседних состояния на графе сильно запутаны; те, что подальше, меньше. И мы можем представить, что по мере развития нашей системы мы будем получать все более и более крупные ветвистые графы, пока в конечном итоге, как и в случае с нашими исходными гиперграфами, мы не сможем думать об этих графах как о чем-то вроде непрерывного пространства.
На что похоже это пространство? Для наших исходных гиперграфов мы представили, что получим что-то вроде обычного физического пространства (скажем, близкого к трехмерному евклидову пространству). Но пространство ветвлений — это нечто более абстрактное и гораздо более необычное. И оно даже не является конечномерным. Это что-то вроде гильбертова пространства. Но мы все же можем думать о нем математически как о некотором пространстве.
На этом моменте все сильно усложняется. Но позвольте мне попытаться дать вам хотя бы представление о том, как все работает. Вот пример чудесного соответствия: кривизна физического пространства подобна принципу неопределенности квантовой механики. Почему они как-то связаны друг с другом?
Принцип неопределенности гласит, что если вы измеряете, скажем, положение чего-либо, а затем его импульс, вы получите не тот же самый ответ, как если бы вы делали это в обратном порядке. Но теперь подумайте, что происходит, когда вы пытаетесь создать прямоугольник в физическом пространстве, двигаясь сначала в направлении x, затем в направлении y, а затем вы делаете это в обратном порядке. В плоском пространстве вы попадете в то же место. Но в искривленном пространстве это не так:
По сути, принцип неопределенности заключается в том, что вы делаете именно это, но в пространстве ветвлений, а не в физическом. И именно потому, что пространство ветвлений необычно — и, по сути, очень искривлено, — вы получаете принцип неопределенности.
Хорошо, может возникнуть следующий вопрос: каков аналог уравнений Эйнштейна в пространстве ветвлений? И снова открывается удивительная вещь: это интеграл по траекториям — фундаментальная математическая конструкция современной квантовой механики и квантовой теории поля.
Позвольте мне попытаться объяснить. Точно так же, как мы обсуждали геодезические линии как описывающие пути, пройденные через физическое пространство с течением времени, мы можем обсуждать геодезические линии как описывающие пути, пройденные через пространство ветвлений с течением времени. В обоих случаях эти геодезические линии определяются кривизной в соответствующем пространстве. В случае физического пространства мы утверждали, что наличие избыточных причинно-следственных ребер, соответствующих энергии, приведет к тому, что равносильно кривизне пространственного гиперграфа, как описано уравнениями Эйнштейна.
А что насчет пространства ветвлений? Как и в случае с пространственным гиперграфом, мы можем думать о причинно-следственных связях между событиями обновления, которые определяют граф ветвлений. И мы снова можем вообразить себе поток причинно-следственных ребер — теперь не через пространственные гиперповерхности, а через гиперповерхности, подобные ветвям состояний — как соответствующие энергии. И — как и в случае с пространственным гиперграфом — избыток этих причинно-следственных ребер приведет к тому, что создаст искривление в пространстве ветвлений (или, точнее, во «времени-ветвлении» — аналоге пространства-времени). Но эта кривизна затем повлияет на геодезические линии, пересекающие пространство ветвлений.
В общей теории относительности наличие массы (или энергии) вызывает искривление пространства, в результате чего пути геодезических линий поворачиваются, что обычно интерпретируется как действие силы тяжести. Есть аналог в квантовой механике в нашем пространстве ветвлений. Присутствие энергии вызывает искривление в пространстве ветвлений, которое заставляет геодезические пути через пространство ветвлений поворачиваться.
Чему соответствует поворот? По сути, это именно то, о чем говорит интеграл по траекториям. Интеграл по траекториям (стандартный термин квантовой механики) задается в комплексных числах. Но с таким же успехом можно рассматривать его, как поворот на угол. Именно это и происходит с нашими геодезическими линиями в пространстве ветвлений. В интеграле по траекториям есть величина, называемая действием, являющаяся своего рода релятивистским аналогом энергии. Наши потоки причинно-следственных ребер соответствуют действию, и именно они определяют скорость поворота геодезических линий.
Все это прекрасно сочетается. В физическом пространстве у нас есть уравнения Эйнштейна — ядро общей теории относительности. А в пространстве ветвлений мы имеем интеграл по траекториям Фейнмана — ядро современной квантовой механики. А в контексте наших моделей это просто разные грани одной и той же идеи. Это удивительное объединение, которого, я совсем не ожидал. Оно возникло как неизбежное следствие наших простых моделей применения правил к множествам отношений или гиперграфам.
Движение по ветвям и горизонт запутанности
Мы можем думать о движении в физическом пространстве как о процессе исследования новых элементов в пространственном гиперграфе, потенциально подвергающимся их влиянию. Но теперь, когда мы говорим о пространстве ветвлений, разумно спросить, есть ли в нем что-то вроде движения. И ответ — да. Вместо изучения новых элементов в пространственном гиперграфе, мы исследуем новые элементы в графе ветвлений и становимся потенциально подвержены их влиянию.
Есть способ сказать об этом на стандартном языке квантовой механики: по мере того, как мы движемся в пространстве ветвлений, мы фактически «запутываемся» во все большем и большем количестве квантовых состояний.
Давайте продолжим аналогию. В физическом пространстве есть максимальная скорость движения — скорость света c. Так что насчет пространства ветвлений? Что ж, в наших моделях мы видим, что также должна быть максимальная скорость движения в пространстве ветвлений. Или, другими словами, существует максимальная скорость, с которой мы можем связываться с новыми квантовыми состояниями.
В физическом пространстве мы говорим о световых конусах как об областях, на которые может причинно повлиять какое-то событие в определенном месте в пространстве. Таким же образом мы можем говорить о конусах запутывания, которые определяют области в пространстве ветвлений, на которые могут влиять события в некоторой позиции в пространстве ветвлений. И точно так же, как существует причинно-следственный граф, который связывает вместе элементарные световые конусы, есть нечто подобное, связывающее вместе конусы сцепленности.
Этим чем-то похожим является причинно-следственный граф ветвлений: граф, который представляет причинно-следственные связи между всеми событиями, которые могут произойти в любом месте системы ветвлений. Вот пример такого причинно-следственного графа всего для нескольких шагов очень простой системы подстановки строк:
В некотором смысле. причинно-следственный граф является наиболее полным описанием всего, что может повлиять на опыт наблюдателей. Некоторые из описываемых причинно-следственных связей представляют собой пространственные связи; некоторые представляют собой ветвистые связи. Но все они есть. Итак, в некотором смысле ветвистый причинно-следственный граф — это место, где встречаются теория относительности и квантовая механика. Срежьте в одну сторону, и вы увидите отношения в физическом пространстве; срежьте другой путь, и вы увидите отношения в пространстве ветвлений между квантовыми состояниями.
Чтобы понять, как это работает, вот игрушечная версия причинно-следственного графа ветвлений:
Каждая точка — это событие, которое происходит в некотором гиперграфе на некоторой ветви системы. И теперь граф показыает причинно-следственную связь этого события с другими. В этом игрушечном примере есть чисто временные отношения (обозначенные стрелками вниз), в которых в основном какой-то элемент гиперграфа влияет на его будущее «я». Но есть и пространственные, и отношения ветвлений, когда событие затрагивает элементы, которые либо «пространственно» разделены в гиперграфе, либо «ветвисто» разделены в системе ветвлений.
Но при всей этой сложности происходит что-то чудесное. Если основное правило модели имеет причинно-следственную инвариантность, то это подразумевает всевозможные закономерности в причинно-следственном графе ветвлений. Например, все те причинно-следственные графы, которые мы получаем, беря разные срезы времени-ветвления, на самом деле одинаковы, когда мы проецируем их в пространство-время — и это приводит к теории относительности.
Но причинно-следственная инвариантность имеет и другие последствия. Одно из них заключается в том, что должен существовать аналог специальной теории относительности, применимый не к пространству-времени, а к времени-ветвлению. Системы отсчета специальной теории относительности теперь являются нашими квантовыми системами наблюдения. А аналог скорости в физическом пространстве — это скорость запутывания новых квантовых состояний.
Так что насчет такого явления, как релятивистское замедление времени? Есть ли аналог этого для движения в пространстве ветвлений? Вообще-то да, есть. И это оказывается тем, что иногда называют квантовым эффектом Зенона: если многократно измерять квантовую систему достаточно быстро, она не изменится. Это явление подразумевается дополнениями к стандартному аппарату квантовой механики, которые описывают измерения. Но в наших моделях это происходит непосредственно из аналогии между физическим пространством и пространством ветвлений.
Выполнение новых измерений эквивалентно запутыванию в новых квантовых состояниях или перемещению в пространстве ветвлений. В прямой аналогии с тем, что происходит в специальной теории относительности, когда вы приближаетесь к движению с максимальной скоростью, вы неизбежно замедляете выборку во времени — и поэтому вы получаете замедление времени, что означает, что ваша «квантовая эволюция» замедляется.
Итак, есть релятивистские явления в физическом пространстве и квантовые аналоги в пространстве ветвлений. Но в наших моделях все это, по сути, аспекты одного: причинно-следственного графа ветвлений. Так есть ли ситуации, в которых могут смешиваться два вида явлений? Обычно нет: релятивистские явления охватывают большие физические масштабы; квантовые явления имеют тенденцию вовлекать мелкие.
Но одним из примеров экстремальной ситуации, когда они могут смешиваться, являются черные дыры. Я несколько раз упоминал, что формирование горизонта событий вокруг черной дыры связано с разрывом в причинно-следственном графе. Но это еще не все. На самом деле это разъединение существует не только в причинно-следственном графе пространства-времени, но и в полном причинно-следственном графе ветвлений. А это означает, что существует не только обычный причинно-следственный горизонт событий — в физическом пространстве, — но также и «горизонт запутанности» в пространстве ветвлений. И точно так же, как часть пространственного гиперграфа может «отвалиться» в черной дыре, также может отсоединиться часть графа ветвлений.
Что это значит? Есть множество последствий. Одно из них заключается в том, что квантовая информация может быть захвачена внутри горизонта запутанности, даже если она не пересекла причинно-следственный горизонт событий — так что в действительности черная дыра замораживает квантовую информацию «на своей поверхности» (по крайней мере, на ее поверхности в пространстве ветвлений). Это странное явление, подразумеваемое нашими моделями, но, пожалуй, особенно интересно в нем то, что оно во многом согласуется с выводами о черных дырах, сделанными в некоторых из последних работ по физике, посвященных так называемому голографическому принципу в квантовой теории поля и общей теории относительности.
Вот еще один связанный с этим феномен. Если вы пересечете горизонт причинно-следственных событий черной дыры, что вы в конечном итоге будете бесконечно физически удлинены (или «спагеттифицированы») под действием приливных сил. Что ж, нечто подобное происходит, если вы пересекаете горизонт запутанности, но теперь вы будете вытянуты в пространстве ветвлений, а не в физическом. И в наших моделях это в конечном итоге означает, что вы не сможете провести квантовое измерение — так что в некотором смысле как наблюдатель вы не сможете «сформировать классическую картину мира», или, другими словами, выйти за рамки запутанности. На горизонте вы никогда не сможете «прийти к окончательному выводу», например, о том, упало ли что-то в черную дыру или нет.
Скорость света c — фундаментальная физическая константа, которая связывает расстояние в физическом пространстве со временем. В наших моделях появилась новая фундаментальная физическая константа: максимальная скорость сцепления, которая связывает расстояние в пространстве ветвлений со временем. Я называю эту максимальную скорость запутывания ζ (дзета) (ζ немного похожа на «запутанную c»). Я не уверен, каково ее точное значение, но по моей оценке она соответствует запутыванию примерно
10^102 новых квантовых состояний в секунду. И в некотором смысле, именно то, что она такая большая, позволяет нам «формировать классическую картину мира».Из-за связи между ветвистыми причинно-следственными ребрами и энергией можно преобразовать ζ в единицы энергии в секунду, и наша оценка предполагает, что ζ составляет около
10^5 солнечных масс в секунду. Это большое значение — вероятно, оно имеет отношение к чему-то вроде слияния галактических черных дыр. (Это означало бы, что для того, чтобы разум смог «квантово осознать» нашу галактику потребуется, возможно, шесть месяцев.)Поиск первичного правила
Я искренне поражен тем, как много мы смогли выяснить только на основе общей структуры наших моделей. Но чтобы получить окончательную фундаментальную теорию физики, нам все еще нужно найти конкретное правило. Правило, которое дает нам 3 (или около того) измерения пространства, конкретную скорость расширения Вселенной, определенные массы и свойства элементарных частиц и так далее. Но как нам приступить к поиску этого правила?
И на самом деле даже до этого нам нужно спросить: если бы у нас было правильное правило, поняли бы мы это? Как я упоминал ранее, здесь потенциально может возникнуть большая проблема с вычислительной несократимостью. Потому что, каким бы ни было основное правило, наша реальная Вселенная, применяла его, возможно более
10^500 раз.И если существует вычислительная несократимость (а она существует), тогда не будет способа коренным образом уменьшить объем вычислительных усилий, необходимых для определения результата всех этих приложений правил.
Но мы должны надеяться, что каким-то образом — даже при том, что полная эволюция Вселенной не поддается вычислению — все еще существует достаточно «туннелей вычислительной сводимости», чтобы мы смогли выяснить данные, необходимые нам для сравнения с тем, что мы знаем о физике, без необходимости выполнять всю эту вычислительную работу. И я должен сказать, что наш недавний успех в получении выводов только на основе общей структуры наших моделей придает мне оптимизма в отношении этой возможности.
Какие правила нам следует учитывать? Традиционный подход в естествознании (по крайней мере, в течение последних нескольких столетий), как правило, сводится к следующему: начните с того, что вы знаете о любой системе, которую изучаете, а затем попытайтесь «реконструировать» ее правила. Но в наших моделях слишком много эмпирических данных, чтобы это работало. Взгляните на это:
Учитывая общую форму этой структуры, вы никогда не догадались бы, что ее можно создать по простому правилу:
{{x, y, y}, {y, z, u}} → {{u, z, z}, {u, x, v}, {y, u, v}}Я исследовал вычислительные вселенные в течение примерно сорока лет, и должен сказать, что даже сейчас удивительно, как часто меня поражает способность чрезвычайно простых правил вызывать поведение, которого я даже не ожидал. И это особенно характерно для совершенно бесструктурных моделей, которые мы используем. В конце концов, единственный реальный способ узнать, что может случиться в этих моделях, — это просто перечислить возможные правила, а затем запустить их и посмотреть, что получается.
Но теперь возникает еще один вопрос. Если мы начнем перечислять очень простые правила, как далеко нам придется зайти, прежде чем мы найдем нашу Вселенную? Или, другими словами, насколько простым будет правило для нашей Вселенной?
Возможно, в некотором смысле правило для Вселенной будет иметь особый случай для каждого элемента вселенной — каждой частицы, каждой позиции в пространстве и т. д. Научные законы предполагают, что правило не имеет такого уровня сложности. Но насколько простым оно будет? Мы не знаем. И я должен сказать, что я не думаю, что наши недавние открытия проливают какой-либо конкретный свет на это — потому что они в основном говорят, что многие вещи в физике являются общими и не зависят от специфики основного правила, каким бы простым или сложным оно ни было.
Почему именно эта Вселенная?
Ну, хорошо, допустим, мы обнаружим, что нашу Вселенную можно описать некоторым определенным правилом. Тогда возникает очевидный следующий вопрос: почему это правило, а не какое-то другое? История науки со времен Коперника снова и снова показывает нам доказательства того, что мы «не особенные». Но если правило, которое описывает нашу Вселенную, простое, не будет ли эта простота признаком «особенности»?
Я давно думаю об этом. Может ли быть, например, что правило является простым только из-за того, как мы, как сущности, существующие в нашей конкретной вселенной, выбираем свои способы описания реальности? И что в какой-то другой вселенной, с каким-то другим правилом, существа, которые там существуют, установят свои способы описания реальности так, чтобы правило их вселенной было для них простым, хотя оно может быть очень сложным для нас?
Или может быть так, что в некотором фундаментальном смысле не имеет значения, каковы правила для Вселенной: для наблюдателей, встроенных во вселенную, действующих по тем же правилам, что и эта вселенная, выводы о том, как работает Вселенная, всегда будут те же самые?
Или, может быть, это вопрос, выходящий за рамки науки?
К моему значительному удивлению, парадигма, возникшая в результате наших недавних открытий, потенциально, похоже, предлагает определенный — хотя на первый взгляд странный — научный ответ.
В том, что мы обсуждали до сих пор, мы представляем себе, что для нашей вселенной существует особое, единственное правило, которое применяется снова и снова, эффективно всеми возможными способами. Но что, если бы не было единственного правила, которое можно было бы использовать? Что, если бы можно было использовать все мыслимые правила? Что, если бы каждое событие обновления могло просто использовать любое возможное правило? (Обратите внимание, что в конечной вселенной может применяться только конечное число правил.)
Сначала может показаться, что такая модель никогда не приведет к чему-то определенному. Но представьте себе построение графа ветвлений абсолютно всего, что может произойти, включая все события для всех возможных правил. Это большой сложный объект. Но он далеко не бесструктурен, он полон всех видов структур.
И в этом есть одна важная деталь: в основном гарантируется причинно-следственная инвариантность (в основном потому, что если есть правило, которое что-то делает, всегда есть другое правило, которое может это отменить).
Итак, теперь мы можем создать причинно-следственный граф, который покажет аналог теории относительности в пространстве правил. И это означает, что в графе ветвлений «пространства правил» мы можем ожидать создания различных слоений, но все они будут давать согласованные результаты.
Это замечательное концептуальное объединение. У нас есть физическое пространство, пространство ветвлений, а теперь еще то, что мы можем назвать пространством правил. И ко всем ним применимы одни и те же общие идеи и принципы. И точно так же, как мы определили системы отсчета в физическом пространстве и пространстве ветвлений, мы также можем определить системы отсчета в пространстве правил.
Но какие системы отсчета наблюдатели могут установить в пространстве правил? В типичном случае мы можем думать о различных системах отсчета в пространстве правил как о соответствующих различным языкам описания, на которых наблюдатель может описывать свой опыт Вселенной.
Говоря абстрактно, это знакомая идея, что с помощью любого конкретного языка описания мы всегда можем явно запрограммировать любой универсальный компьютер, чтобы перевести его на другой язык описания. Но здесь мы говорим о том, что в пространстве правил достаточно выбрать другую систему отсчета, чтобы в нашем представлении Вселенной использовался другой язык описания.
И примерная причина, по которой это работает, заключается в том, что разные слоения пространства правил соответствуют разному выбору последовательностей правил в графе ветвлений пространства правил, который фактически может быть настроен для «вычисления» выходных данных, которые были бы получены с любым заданным описанием языка. То, что это может сработать, в конечном итоге зависит от того факта, что последовательности наших правил могут поддерживать универсальные вычисления — для этого достаточно просто «выбрать другую систему отсчета в пространстве правил», «запустить другую программу» и получить другое описание наблюдаемого поведения Вселенной.
Странная, но довольно интересная картина. Вселенная использует все возможные правила. Но как существа, встроенные во вселенную, мы выбираем определенное слоение (или последовательность систем отсчета), чтобы понять, что происходит. И этот выбор слоения соответствует языку описания, который дает нам конкретный способ описания Вселенной.
Но что можно сказать определенно о Вселенной — независимо от слоения? Есть одно важное обстоятельство: вселенная, какое бы слоение ни использовалось для ее описания, — это всего лишь универсальный компьютер, и не более того. И такие гипервычисления невозможны во Вселенной.
Учитывая структуру наших моделей, это еще не все. Точно так же, как есть максимальная скорость в физическом пространстве (скорость света c) и максимальная скорость в пространстве ветвлений (максимальная скорость запутывания ζ), так также должна быть максимальная скорость в пространстве правил, которую мы можем назвать ρ — это фактически еще одна фундаментальная константа природы. (Постоянство ρ фактически является отражением принципа вычислительной эквивалентности.)
Но чему соответствует движение в пространстве правил? По сути, это смена правила. И сказать, что это может происходить только с конечной скоростью, значит сказать, что существует вычислительная несократимость: одно правило не может имитировать другое бесконечно быстро. И с учетом этой конечной «скорости эмуляции» существуют «конусы эмуляции», которые являются аналогом световых конусов и определяют, как далеко можно продвинуться в пространстве правил за определенное время.
Какие единицы у ρ? По сути, это длина программы, разделенная на время. Но в то время как в теории вычислений обычно предполагают, что длина программы может быть масштабирована почти произвольно с помощью различных моделей вычислений, здесь это мера длины программы, которая каким-то образом фундаментально привязана к структуре системы ветвлений пространства правил и физического пространства. (Кстати, аналог кривизны и уравнений Эйнштейна будет и в пространстве правил — и это, вероятно, соответствует геометризации теории сложности вычислений и таких вопросов, как P?=NP.)
О структуре пространства правил можно сказать больше. Например, давайте представим, что мы пытаемся создать слоение, в котором мы замораживаем время где-нибудь в пространстве правил. Это будет соответствовать попытке описать Вселенную, используя некоторую вычислительно сокращаемую модель — и со временем будет становиться все труднее и труднее делать это, поскольку конусы эмуляции обеспечивают все большую и большую вычислительную несократимость.
Итак, что все это означает для нашей первоначальной цели — поиска правила для описания нашей Вселенной? По сути, это говорит о том, что подойдет любое (универсальное вычисление) правило — если мы готовы создать соответствующий язык описания. Но дело в том, что мы в основном уже определили по крайней мере некоторые элементы нашего языка описания: это те вещи, которые обнаруживают наши органы чувств, наши измерительные устройства измеряют, а наша существующая физика описывает. Итак, теперь наша задача — найти правило, которое успешно описывает нашу вселенную в рамках этой концепции.
Для меня это очень удовлетворительное решение загадки того, почему для нашей Вселенной было выбрано какое-то конкретное правило. Ответ заключается в том, что в конечном счете не существует какого-то конкретного правила — подойдет любое правило, способное к универсальному вычислению. Просто с каким-то определенным способом описания, который мы выбираем использовать, будет какое-то определенное правило, которое описывает нашу Вселенную. И в каком-то смысле, какая бы особенность ни была в этом правиле, это просто отражение специфики нашего способа описания. По сути, единственное, что является для нас особенным во Вселенной, — это мы сами.
А это дает однозначный ответ на еще один давний вопрос: могут ли быть другие вселенные? Ответ в нашей модели в основном отрицательный. Мы не можем просто «выбрать другое правило и получить другую вселенную». Потому что в некотором смысле наша Вселенная уже содержит все возможные правила. (Могут быть и другие вселенные, которые выполняют различные уровни гипервычислений.)
Но возможно и кое-что более странное. Хотя мы смотрим на нашу вселенную — и на реальность — через наш конкретный тип языка описания, существует бесконечное количество других возможных языков описания, которые могут привести к описаниям реальности, которые будут казаться связными (и даже в некотором подходящем определении «значимыми») внутри самих себя, но которые нам покажутся соответствующими совершенно бессвязным и бессмысленным аспектам нашей вселенной.
Я всегда предполагал, что любая сущность, существующая в нашей Вселенной, должна, по крайней мере, «испытывать ту же физику, что и мы». Но теперь я понимаю, что это не так. На самом деле, существует почти бесконечное разнообразие различных способов описания и восприятия нашей вселенной, или, по сути, почти бесконечное разнообразие различных «планов существования» для сущностей во вселенной — соответствующих различным возможным системам отсчета в пространстве правил, в конечном итоге связанных между собой через универсальные вычисления и относительность пространства правил.
Язык Вселенной
Что значит создать модель Вселенной? Если мы просто хотим знать, что делает Вселенная, тогда у нас есть Вселенная, и мы можем просто наблюдать, что она делает. Но когда мы говорим о создании модели, на самом деле мы имеем в виду, что хотим иметь представление о Вселенной, которое каким-то образом связывает ее с тем, что мы (люди) можем понять. При учете вычислительной несократимости мы не ожидаем от модели, что она будет «заранее предсказывать» поведение Вселенной с точностью до каждой детали. Но мы действительно хотим иметь возможность указать на модель — структуру которой мы понимаем — и затем иметь возможность сказать, что эта модель соответствует нашей Вселенной.
В предыдущем разделе мы сказали, что хотим найти правило, которое мы могли бы в некотором смысле связать с языком описания, который мы используем для Вселенной. Но каким должен быть язык описания самого правила? Неизбежно существует большая вычислительная дистанция между основным правилом и особенностями Вселенной, которые мы привыкли описывать. Итак, как я уже несколько раз говорил здесь по-разному, мы не можем ожидать использования обычных концепций, с помощью которых мы описываем мир (или физику), непосредственно при построении правила.
Я провел большую часть своей жизни в качестве разработчика языков, в основном создавая то, что сейчас является полноценным вычислительным языком — Wolfram Language. И теперь я рассматриваю попытку найти фундаментальную теорию физики как во многих отношениях просто еще одну проблему в языковом дизайне — возможно, даже самую важную из таких задач.
При разработке вычислительного языка мы пытаемся создать мост между двумя областями: абстрактным миром вычислений и «ментальным» миром того, что люди понимают и в чем заинтересованы. Есть всевозможные вычислительные процессы, которые можно изобрести (скажем, запуск случайно выбранных правил клеточного автомата), но главная задача языкового дизайна состоит в том, чтобы выяснить, какие из них волнуют людей на данном этапе истории человечества, а затем дать людям возможность описать их.
Хорошо, давайте поговорим о создании модели Вселенной. Возможно, самая важная идея в моих попытках найти фундаментальную теорию физики состоит в том, что теория должна основываться на общей вычислительной парадигме (а не, например, конкретно на математике). Итак, когда мы говорим о языке для описания нашей модели Вселенной, мы видим, что он должен соединять три различных области. Это должен быть язык, понятный людям. Это должен быть язык, способный выражать вычислительные идеи. И это должен быть язык, который действительно может представлять основную структуру физики.
Итак, каким должен быть этот язык? Какие примитивы он должен содержать? История, которая привела меня к тому, что я здесь описываю, во многом является историей моих попыток сформулировать соответствующий язык. Это кубические графы? Это упорядоченные графы? Это правила, применимые к абстрактным отношениям?
Во многих отношениях мы неизбежно находимся на грани возможностей человеческого разума. Возможно, однажды мы выработаем знакомые способы говорить о задействованных концепциях. Но пока у нас их нет. Что сделало этот проект осуществимым сейчас, так это то, что мы так далеко зашли в разработке способов выражения вычислительных идей — и что благодаря Wolfram Language эти формы выражения стали знакомы, по крайней мере, мне.
Стремясь служить людским потребностям язык Wolfram Language в первую очередь принимает ввод, оценивает его путем вычислений и затем генерирует вывод. Но это не то, что делает Вселенная. Вселенная в некотором смысле внесла вклад в самом начале, а сейчас она просто проводит оценку — и с учетом всех наших представлений о слоениях, мы отбираем определенные аспекты этой текущей оценки.
Это вычисление, но это вычисление, производимое непривычным для нас способом. Для языкового дизайнера, вроде меня, это интересно само по себе, со всеми своими научными и технологическими побочными эффектами. Возможно, потребуется гораздо больше идей, прежде чем мы сможем закончить работу по поиску способа представления основного правила фундаментальной физики.
Но я оптимистично настроен: у нас уже есть почти все идеи, которые нам нужны. Также у нас есть хорошая методология: мы можем проводить исследования с помощью компьютерных экспериментов. Если бы мы все полагались на традиционную методологию математики, мы смогли бы исследовать только то, что уже знаем. Но, проводя компьютерные эксперименты, мы фактически отбираем необработанную вычислительную вселенную возможностей, не ограничиваясь нашим существующим пониманием.
Конечно, как и в случае с физическими экспериментами, важно, как мы думаем о наших экспериментах и какой язык описания мы используем. Мне безусловно помогает то, что я проводил компьютерные эксперименты более сорока лет, и за это время я смог постепенно усовершенствовать свое искусство и науку, стоящую за ним.
Это похоже на то, как мы учимся на собственном опыте в физическом мире. Наблюдая за результатами множества экспериментов, мы постепенно развиваем интуицию, которая, в свою очередь, позволяет нам начать создавать концептуальную основу, которая затем используется при разработке нашего языка для описания реальности. Но эксперименты нужно проводить постоянно. В некотором смысле вычислительная несократимость означает, что мы постоянно будем получать сюрпризы, что я и обнаруживаю на практике в этом проекте.
Сможем ли мы объединить физику, вычисления и человеческое понимание, чтобы создать то, что мы сможем считать окончательной фундаментальной теорией физики? Трудно сказать, насколько это будет сложно. Но я крайне оптимистично настроен и думаю, что мы наконец-то на правильном пути и уже даже решили увлекательную проблему языкового дизайна, необходимую для разгадки тайн Вселенной.
На поиски фундаментальной теории!
Учитывая все это, что нужно сделать, чтобы найти фундаментальную теорию физики? Самое важное — мы наконец на правильном пути. Конечно, что неудивительно, задача все еще технически крайне сложна. Частично эта трудность проистекает непосредственно из вычислительной несократимости и из-за сложности разработки последствий основных правил. Но отчасти трудности также связаны с успехом и сложностью существующей физики.
В конце концов, наша цель должна состоять в том, чтобы построить мост, который соединит наши модели с существующими знаниями о физике. И с обеих сторон предстоит трудная работа. Пытаться сформулировать последствия наших моделей в терминах, согласующихся с существующей физикой, и попытаться сформулировать математические структуры существующей физики в терминах, которые согласуются с нашими моделями.
Для меня одним из наиболее приятных аспектов наших открытий за последние пару месяцев была степень, в которой они в конечном итоге находили отклик в огромном диапазоне существующих — иногда до сих пор кажущихся «чисто математическими» — направлениях, которые попали из математики в физику в последние годы. Кажется, что создатели всех современных теорий были правы с самого начала, и нужно просто добавить некий новый субстрат, чтобы увидеть, как все они сочетаются друг с другом. В наших моделях есть намеки на теорию струн, голографические принципы, теорию причинных множеств, петлевую квантовую гравитацию, теорию твисторов и многое другое. Существуют также современные математические идеи — геометрическая теория групп, теория категорий высокого порядка, некоммутативная геометрия, геометрическая теория сложности и т. д. — которые кажутся настолько хорошо согласованными с нашими моделями, что можно подумать, что они должны были быть построены специально для их анализа.
Должен сказать, я этого не ожидал. Идеи и методы, на которых основаны наши модели, сильно отличаются от того, что когда-либо серьезно применялось в физике или даже в математике. Но каким-то образом — и я думаю, что это хороший знак — то, что обнаружилось, прекрасно согласуется с множеством недавних работ в области физики и математики. Основы и мотивирующие идеи разные, но методы (а иногда даже результаты) часто кажутся применимыми сразу.
Есть кое-что еще, чего я не ожидал, но что очень важно. Изучая клеточные автоматы в вычислительной вселенной простых программ, я обычно обнаруживал, что вычислительная несократимость — и такие явления, как неразрешимость — присутствуют повсюду. Попробуете использовать сложные математические методы — и они почти всегда терпят неудачу.
Но из-за того, что наши модели фундаментальной физики такие минималистичные и бесструктурные, даже до столкновения с проблемой несократимости мы можем увидеть поразительное богатство свойств наших моделей. Отсюда многие из наших недавних открытий. И именно здесь существующие методы физики и математики могут внести большой вклад. Мы можем многое понять, прежде чем мы столкнемся с вычислительной несократимостью. (Что, кстати, вероятно, является причиной того, почему мы вообще в состоянии сформировать связное представление о физической реальности.)
Так как же попытка найти фундаментальную теорию физики будет работать на практике? Мы планируем централизованные усилия по продвижению проекта, используя по существу те же методы исследований и разработок, которые мы разработали в Wolfram Research за последние три десятилетия и которые успешно принесли нам так много открытий. Мы планируем делать все полностью открыто. Мы уже опубликовали полный набор разработанных нами программных инструментов, а также почти тысячу заархивированных рабочих записей, относящихся к 1990-м годам, и более 400 часов видео с последних рабочих сессий.
Мы хотим позволить людям участвовать непосредственно в наших централизованных усилиях или отдельно от нас. Мы будем транслировать то, что делаем, и добиваться максимального взаимодействия. Мы будем проводить множество образовательных программ. Мы также планируем проводить (в прямом эфире) рабочие сессии с другими людьми и группами, а также предоставлять каналы для компьютерной публикации результатов и промежуточных выводов.
Я должен сказать, что мне работа над этим проектом как сейчас, так и в прошлые годы принесла море удовольствия. И я надеюсь, что и другие люди смогут разделить эти чувства по мере продвижения нашего проекта. Я думаю, что мы наконец нашли путь к фундаментальной теории физики. И теперь пойдем по этому пути. Давайте попробуем наконец-то выяснить, как устроена наша вселенная!
Комментарии 429
Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.