В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма (ВТФ) Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию (информация из Википедии).
А недавно в Хабре мне попалась статья от 2019 года «Почему доказательство Великой теоремы Ферма не нуждается в улучшениях» ( https://habr.com/ru/articles/461179/). Уже в заголовок статьи вынесено, что математики-специалисты по теории чисел доказательство ВТФ считают пройденным этапом и, следовательно, из этой теоремы больше ничего и «не выжмешь», и не следует тратить время на улучшения, которые не принесут ничего нового в... теорию чисел! Т.е., если появится что-то новое в других направлениях математики, то им это не интересно.
Вот я и подумал, может им интересно: почему ВТФ не выполняется при n = 2?
Другими словами, почему при n= 2 уравнение ВТФ решается в натуральных числах, а при n > 2, нет?
Наверно, опять же, уйдём от теории чисел, если переформулируем вопрос в виде: «в чём заключается существенное отличие квадратичной функции y = x2 от степенных более высоких порядков: y = xn (где n > 2)»?
Ответ очевиден: степенные функции более высоких порядков растут быстрее.
«Быстроту» роста функции определяет производная. Вот тут и кроется главное отличие квадратичной функции: её производной является линейная функция y’= 2x, а у функций более высоких порядков производная является степенной функцией y’= nxn-1 (где n> 2).
Если значения производной квадратичной функции при натуральных xk мы можем вычислять по рекуррентной формуле: yk’= yk-1’+ 2, где k = 1,2,3,... и y0’= 0 (арифметическая прогрессия – каждый член последовательности, начиная со второго получается прибавлением к предыдущему разности прогрессии), то для производных степенных функций рекуррентных формул не существует, поскольку само xk присутствует: yk’= nxkn-1.
