Советский актер театра и кино. Народный артист СССР (1983). Лауреат Государственной премии СССР (1974).
В 1951 году окончил Горьковское театральное училище, после чего был распределен во Владимирский областной драматический театр имени А. Луначарского.
В 1954 году поступил в Школу-студию МХАТ, причем сразу на второй курс. В середине 1955 года студенты Школы-студии МХАТ создали Студию молодых актеров, которая через год стала базой для нового столичного театра — «Современник». Первую свою значительную роль в «Современнике» Евстигнеев сыграл в 1960 году в спектакле «Голый король» по пьесе Евгения Шварца.
Настоящая всесоюзная слава пришла к Евстигнееву в 1964 году — после роли Дынина в фильме режиссера Элема Климова «Добро пожаловать, или Посторонним вход воспрещен».
В 1971 году вслед за Олегом Ефремовым перешел в труппу МХАТа. Первой его ролью на новой сцене стал Володя в спектакле «Валентин и Валентина» по пьесе Михаила Рощина. В декабре 1980 года у Евстигнеева случился инфаркт. На рубеже 90-х годов он сыграл в Театре Антона Чехова Фирса в «Вишневом саде», в 1991 году в «Артели артистов» Сергея Юрского — Глова в спектакле «Игроки-XXI».
В 1988 году сыграл профессора Преображенского в фильме «Собачье сердце».
