Как известно, теорема Ферма была доказана в 1995 году. Только поиски простого доказательства не остановились. Ферма, говорят, уместил его на полях книги. Предлагаю очередную попытку. С желанием разобраться в правильности или нет данного доказательства. Оно опирается на школьную математику. Правда, затрагивает лишь трехмерное пространство. Есть надежда, что этот метод подойдет и для n-мерных пространств, где n>3.
Итак, теорема Ферма: аn + bn ≠ cn для любых натуральных a, b, c, n > 2.
Докажем для n = 3. Остальные аналогично. Используется единичный гиперкуб с гиперобъемом равным 1.
а3 + b3 ≠ c3 для любых натуральных a, b, c.Доказательство (от противного):
Пусть a, b, c наименьшие такие, что а3 + b3 = c3.
Vc = c3, Vb = b3, y = c – b, V1 + V2 + V3 = a3 (из условия куб со стороной с можно составить из частей кубов со сторонами a и b, рис. 1) , тогда Vc = Vb + V1 + V2 + V3 , т.е. c3 = b3+y*c2 + y*b2 + y*c*b (Vb + V2 = b2*c) => c3 = b2*c+y*c2 + y*c*b, делим обе части на с => c2 - b2 = y*c + y*b =>
c2 - b2 = y*(c + b) => a2 = y*(c + b), следовательно a2 ⋮ y.
1) Допустим у не является полным квадратом натурального числа, тогда a делится на y (a2 = y*(c + b)) => (c + b) делится на y (y = c – b), т.е. есть натуральное k, такое что
c + b = k* y и c - b = y, следовательно c = y/2*( k +1) и b = y/2*( k -1).
Если k – нечетное (k±1 - четное), с ⋮ y и b ⋮ y; тогда и a ⋮ y, значит a, b, c – не наименьшие.
Если k – четное (k±1 - нечетное), с ⋮ (y/2) и b⋮ (y/2)
а) если y ⋮ 4, то с и b – четные, тогда и а четное. Обе части равенства а3 + b3 = c3 можно разделить на 8, значит a, b, c – не наименьшие.
б) если y ⋮ 2 и не делится на 4, тогда с и b – нечетные, следовательно, а четное и a ⋮ y/2, т.е.a, b, c делятся на y/2, значит a, b, c – не наименьшие.
2) Допустим существует y1, такое что y = y12, a2 ⋮ y => a ⋮ y1 (y1=√y). Тогда куб со стороной а можно выложить кирпичиками со сторонами √y, √y, 1 (рис.2). Исходя из условия, объемная фигура 1-2-3 (рис.1) также должна состоять из целых кирпичиков. У каждого прямоугольного параллелепипеда (1, 2, 3) есть сторона равная y. Выложим все кирпичики в ряд, высотой равной 1 и шириной y. Получим прямоугольный параллелепипед объемом c*b + c2 + b2 = a3 (y = c – b, a2 ⋮ y), т.е. (c - b)2 + 3*b*c = k*y (для некоторого k), с другой стороны (c - b)2 = y2, отсюда 3*b*c = y*( k – y ), т.е. существует натуральное n, что 3*b*(y+b) = y*n, т.е. b должно делиться хотя бы на y1, т. к. в противном случае вся левая часть не делится на y ((y+b) не делится на y1, b не делится на y1, 3 не является полным квадратом натурального числа). Следовательно, b ⋮ y1, a ⋮ y1 и с должно делиться на y1 (исходя из предположения о выполнимости равенства), т.о. a, b, c не наименьшие.
