Área

El área es un concepto métrico que puede permitir asignar una medida a la extensión de una superficie, expresada en matemáticas como unidades de medida denominadas unidades de superficie.​ El área es un concepto métrico que requiere la especificación de una medida de longitud.

El área es una magnitud métrica de tipo escalar definida como la extensión en dos dimensiones de una recta al plano del espacio.

Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos —es decir, cualquier polígono— puede triangularse, y se puede calcular su área como suma de las áreas de los triángulos en que se descompone.​ Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie,​ cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general —que es un concepto métrico—, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclidiana.

Historia

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.​

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva genera más dificultad. El método exhaustivo consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con el sistema que se conoce como método exhaustivo de Eudoxo, consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,​ así como el cálculo aproximado del número π.

Área del círculo

En el siglo V a. C., Hipócrates de Quíos fue el primero en mostrar que el área de un disco (la región encerrada por un círculo) es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de su cuadratura de la lúnula,​ pero no identificó la constante de proporcionalidad. Eudoxo de Cnido, también en el siglo V a. C., también encontró que el área de un disco es proporcional a su radio al cuadrado.​

Posteriormente, el Libro I de los Elementos de Euclides se ocupó de la igualdad de áreas entre figuras bidimensionales. El matemático Arquímedes usó las herramientas de la geometría euclidiana para mostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, en su libro Sobre la medida del círculo. (La circunferencia es 2π^r, y el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, lo que da como resultado el área πr² del disco). Arquímedes aproximó el valor de π (y por lo tanto el área de un círculo de radio unitario) con su método, en el que inscribió un triángulo regular en un círculo y anotó su área, luego duplicó el número de lados para dar un hexágono regular, luego duplicó repetidamente el número de lados a medida que el área del polígono se acercaba más y más a la del círculo (e hizo lo mismo con polígonos circunscritos).​

El científico suizo Johann Heinrich Lambert en 1761 demostró que π, la relación entre el área de un círculo y su radio al cuadrado, es irracional, lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros.​ En 1794, el matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró que π² es irracional; esto también prueba que π es irracional.​ En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental (no la solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales), lo que confirma una conjetura de Legendre y Euler.​

Área del triángulo

Herón de Alejandría encontró lo que se conoce como la fórmula de Herón para el área de un triángulo en términos de sus lados, y se puede encontrar una prueba en su libro Metrica, escrito alrededor del 60 d.C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes,​ y dado que Metrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo.​

En 499 Aryabhata, un matemático-astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias, expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en el Aryabhatiya (sección 2.6).

Los chinos descubrieron una fórmula equivalente a la de Heron independientemente de los griegos. Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang («Tratado matemático en nueve secciones»), escrito por Qin Jiushao.

Definición formal

Un enfoque para definir lo que se entiende por «área» es a través de axiomas. El «área» se puede definir como una función de una colección M de un tipo especial de figuras planas (denominadas conjuntos medibles) al conjunto de números reales, que satisface las siguientes propiedades:​

• Para todo S en M, a(S) ≥ 0.
• Si S y T están en M, entonces también lo están S ∪ T y S ∩ T, y también a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
• Si S y T están en M con S ⊆ T entonces T - S está en M y a(T−S) = a(T) − a(S).
• Si un conjunto S está en M y S es congruente con T, entonces T también está en M y a(S) = a(T).
• Todo rectángulo R está en M. Si el rectángulo tiene una longitud h y una anchura k, entonces a(R) = hk.
• Sea Q un conjunto encerrado entre dos regiones escalonadas S y T. Una región escalonada se forma a partir de una unión finita de rectángulos adyacentes que descansan sobre una base común, es decir, S ⊆ Q ⊆ T. Si hay un número único c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para todas esas regiones escalonadas S y T, entonces a(Q) = c.

Se puede probar que tal función de área existe realmente.​

Confusión entre área y perímetro

Cuanto más cortes se hacen, más disminuye el área y aumenta el perímetro.

El perímetro es, junto con el área, una de las dos medidas principales de las figuras geométricas planas. A pesar de que no se expresan en la misma unidad, es común confundir estas dos nociones​ o creer que cuanto mayor es una, más también es la otra. De hecho, la ampliación (o reducción) de una figura geométrica aumenta (o disminuye) simultáneamente su área y su perímetro. Por ejemplo, si un pedazo de tierra se muestra en un mapa a una escala de 1:10 000, el perímetro real de la tierra se puede calcular multiplicando el perímetro de la representación por 10 000 y el área multiplicando el de la representación por 10 000². Sin embargo, no existe un vínculo directo entre el área y el perímetro de ninguna figura. Por ejemplo, un rectángulo que tiene un área igual a un metro cuadrado puede tener como dimensiones, en metros: 0,5 y 2 (por lo tanto un perímetro igual a 5 m) pero también 0,001 y 1000 (por lo tanto un perímetro de más de 2000 m). Proclo (siglo V) informa que los campesinos griegos compartían «equitativamente» campos de acuerdo con sus perímetros, pero con áreas diferentes.​​ Sin embargo, la producción de un campo es proporcional al área, no al perímetro.

Área de figuras planas

Área de un triángulo

Cálculo del área de un triángulo

$A={\tfrac {b\cdot h}{2}}$

Áreas en un plano cuadriculado.

• El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:​

$A={\frac {b\cdot h}{2}}$

donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)

• Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:

$A={\frac {a\cdot b}{2}}$

donde a y b son los catetos.

• Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la fórmula de Herón.

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

• Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:

$A={\frac {{\sqrt {3}}\cdot a^{2}}{4}}$

donde a es un lado del triángulo.

Área de un cuadrilátero

Trapezoide.

• El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.

$A={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\cdot \sin \theta }{2}}$

El área también se puede obtener mediante triangulación:

$A={\frac {a\cdot d\cdot \sin \alpha +b\cdot c\cdot \sin \gamma }{2}}$

Siendo:

$\alpha \,$ el ángulo comprendido entre los lados $a\,$ y $d\,$.

$\gamma \,$ el ángulo comprendido entre los lados $b\,$ y $c\,$.

• El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:​

$A={a\cdot b\,}$

• El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

$A={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}}$

• El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:​

$A=a\cdot a\,=a^{2}$

• El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:​

$A=b\cdot h\,$

• El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):​

$A={\frac {a+b}{2}}\cdot h$

Área del círculo y la elipse

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:​

$A=\pi r^{2}\,$

El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:​

$A={\ \pi ab}$

Fórmulas generales

• Un triángulo: ${\tfrac {1}{2}}Bh$ (donde B es cualquier lado y h es la distancia desde la línea en la que B se encuentra hasta el otro vértice del triángulo). Esta fórmula se puede utilizar si se conoce la altura h. Si se conocen las longitudes de los tres lados, se puede usar la fórmula de Herón: ${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ donde a, b, c son los lados del triángulo y $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ es la mitad de su perímetro.​ Si se dan un ángulo y sus dos lados incluidos, el área es ${\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)$ donde C es el ángulo y a y b son sus lados.​ Si el triángulo se representa gráficamente en un plano de coordenadas, se puede usar una matriz y se simplifica al valor absoluto de ${\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})$. Esta fórmula también se conoce como algoritmo de la Lazada y es una manera fácil de resolver el área de un triángulo de coordenadas sustituyendo los 3 puntos (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3). El algoritmo también se puede utilizar para encontrar las áreas de otros polígonos cuando se conocen sus vértices. Otro enfoque para un triángulo de coordenadas es usar el cálculo para encontrar el área.
• Un polígono simple construido en una cuadrícula de puntos de igual distancia (es decir, puntos con coordenadas enteras) de modo que todos los vértices del polígono son puntos de cuadrícula: $i+{\frac {b}{2}}-1$, donde i es el número de puntos de la cuadrícula dentro del polígono y b es el número de puntos límite. Este resultado se conoce como teorema de Pick.​

Área delimitada entre dos funciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

${\text{Area}}(a,b)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: $f(x)\,$ y $g(x)[<f(x)]\,$ en el intervalo $[a,b]\,$.

Ejemplo

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función $f(x)=4-x^{2}$ en el intervalo $[-2;2]$, se utiliza la ecuación anterior, en este caso: $g(x)=0$ entonces evaluando la integral, se obtiene:

$A(-2,2)=$ $\int _{-2}^{2}|4-x^{2}-0|dx=$ $2\int _{0}^{2}4-x^{2}dx=$ $2\left[4x-{\cfrac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{2}=$ $2\left[8-\left({\cfrac {2^{3}-0}{3}}\right)\right]=$ ${\cfrac {32}{3}}$

Por lo que se concluye que el área delimitada es $32/3$.

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

Relación área-perímetro

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

${\frac {A}{L^{2}}}\leq {\frac {1}{4\pi }}$

La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estricta.

Área de superficies curvas

El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.

• Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.
• Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución.

Superficie de revolución

Una superficie de revolución generada por un tramo de la curva y=2+cos x rotada alrededor del eje x.

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar una curva plana o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

$A_{r}(a,b)=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left({\frac {df(x)}{dx}}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} x$

Ejemplos particulares de superficies de revolución son:

• El área de esfera de radio R que viene dada por $4\pi R^{2}\,$
• El área de un cono de radio R y de altura h viene dada por $\pi Rh{\sqrt {1+R^{2}/h^{2}}}$
• El área lateral de un cilindro de radio R y altura h es simplemente $2\pi Rh\,$

Cálculo general de áreas

Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemanniana puede calcularse el área de cualquier superficie curva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:

$A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la superficie en función de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede escribirse como:

$A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ \mathrm {d} u\mathrm {d} v$

Donde E, F y G son las componentes del tensor métrico o primera forma fundamental de la superficie en las coordenadas paramétricas u y v.

En una variedad de Riemann de dimensión n > 1 puede definirse el área de ciertas subvariedades cuya dimensión sea 2. Para ello se define un conjunto de dos coordenadas (u, v) que parametricen la subvariedad y se construye un atlas para subvariedad, entonces el área es la integral de una 2-forma sobre dicha variedad. Esta definición coincidiría con la definición de áreas dada a partir de la primera forma fundamental.

Unidades de medida de superficies

Esta sección es un extracto de Unidades de superficie.[editar]

Las unidades de superficie son patrones establecidos mediante convención para facilitar el intercambio de datos de mediciones de la superficie, área o extensión de un objeto, terreno o figura geométrica.

La medición es la técnica mediante la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de comparar dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se adopta como unidad. La medida de una superficie da lugar a dos cantidades diferentes si se emplean distintas unidades de medida. Así, surgió la necesidad de establecer una unidad de medida única para cada magnitud, de modo que la información fuese fácilmente comprendida.

Sistema Internacional de Unidades

Según el Sistema Internacional de Unidades, las unidades cuadradas son las que se listan a continuación:​

Múltiplos

• Kilómetro cuadrado: 10⁶ metros cuadrados
• Hectómetro cuadrado o hectárea: 10⁴ metros cuadrados
• Decámetro cuadrado o área: 10² metros cuadrados

Unidad básica

• metro cuadrado: unidad derivada del SI
• Elenio: litro/centímetro
• Piornio: (candela·estereorradián)/lux

Submúltiplos

• Decímetro cuadrado: 10⁻² m² (una centésima de metro cuadrado)
• Centímetro cuadrado: 10⁻⁴ m² (una diezmilésima de metro cuadrado)
• Milímetro cuadrado: 10⁻⁶ m² (una millonésima de metro cuadrado)
• barn: 10⁻²⁸ m² (metro cuadrado)

En la escala atómica, el área se mide en unidades de barn.​ Se usa comúnmente para describir el área transversal de interacción en física nuclear.​

Sistema anglosajón de unidades

Las unidades más usadas del sistema anglosajón son:​

• pulgada cuadrada
• pie cuadrado
• yarda cuadrada
• El acre también se usa comúnmente para medir áreas de tierra, donde 1 acre = 4840 yardas cuadradas = 43 560 pies cuadrados.​

Véase también

• Unidad de medida
• Metrología
• Áreas de figuras geométricas

Referencias

Bibliografía

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7. 

• Weisstein, Eric W (1999). Chapman&Hall, ed. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (en inglés). ISBN 0-8493-9640-9. 

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Área.
• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre área.
• Weisstein, Eric W. «Área». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• El problema del área, en fca.unl.edu.ar
• El valor del área representada gráficamente, en fca.unl.edu.ar
• WikiUnits - Convert Area w/ different units
• Esta obra contiene una traducción Parcial derivada de «Area» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión del 17 de junio de 2021, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.
• Esta obra contiene una traducción Parcial derivada de «Aire (géométrie)» de Wikipedia en francés, concretamente de esta versión del 12 de junio de 2021, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

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