一條基本嘅
![{\displaystyle f(x)=\log x}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3e5c60e656b63f73cd6fd19af08ee237b87218)
。
對數(Logarithmic Function)係一種函數,佢係指數函數嘅反函數。對數係嚟自指數,指數函數嘅基本樣係
,通常
係一個實數。咁呢個圖就會穿過
,同埋x軸就係呢個圖嘅趨近線(Asymptote)。因為指數函數係單對單函數,又係全射函數,所以佢就會有逆函數或者叫相反。而指數函數嘅相反就係對數,求出黎嘅方法可以參考下面。
對數有好多唔同嘅作用,其中最常見嘅就有搵出次方,同埋做數學建模去解決現實世界嘅問題。
基本定義[編輯]
如果利用簡介所提及嘅方法嚟搵對數,就要根據以下步驟:
- 將
:![{\displaystyle y=a^{x}}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7018380b0c5a0f6ceb32a2f3811592d86571675)
- 將
同
交換:![{\displaystyle x=a^{y}}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34bb89b40f82c97de48d738df4306e2faf90959)
- 求
:![{\displaystyle y=?}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853edcf62401112cc9cca82bd6d45d9495059440)
定義對數[編輯]
設
,
同埋
,對數函數(Logarithmic Function)
符合:
「
」。
呢個函數嘅基數(Base)就係
,一般會讀成「
base
of
」(
近音係「樂」)。
等價定義[編輯]
根據以上呢個定義,
,
呢兩個表達係完全一樣。
一般會將
叫做指數表示(Exponential Form);
另一個樣,
叫做對數表示(Logarithmic Form)。
![{\displaystyle \log _{5}25=2\implies 5^{2}=25}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea154ad47c79599f893a1a9577bbe1d4b25b474)
![{\displaystyle \log _{5}({\frac {1}{25}})=-2\implies 5^{-2}={\frac {1}{25}}}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60c35835792dddfc5814cd2849e1303d37d6815)
![{\displaystyle 9={\sqrt {81}}=81^{\frac {1}{2}}\implies \log _{81}9={\frac {1}{2}}}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851260c5007be278670b34dae1eb1c8d2bed4085)
![{\displaystyle 16=4^{2}\implies \log _{4}16=2}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3e72068b65f600b8c850d14dc92d494ad5758a)
求絕對值[編輯]
求一個對數嘅絕對值需要用到代數技巧。
例如求:
- 將求嘅數等於
:![{\displaystyle x=\log _{3}81}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2518228bb633e48989b62aedd9d2ddd2d7b577)
- 利用等價定義轉返佢做指數表示:
![{\displaystyle 3^{x}=81}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1e28d4a8c520605378df8166c28b2dac80e31b)
- 解方程:
![{\displaystyle 3^{x}=3^{4}\implies x=4}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba9ef27615d6d5d433e5334369639e2df97956c1)
- 還原答案:
![{\displaystyle x=4=\log _{3}81}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94947f7f01f159130158939f2afb89381f4fcf0b)
例子:
普通對數同自然對數[編輯]
- 內文:自然對數
有自然指數就自然有自然對數,佢哋基本大同小異,只不過自然對數個基數係歐拉數
。而一般情況普通對數個基數就係
,稱常用對數。
通常使用基數係
嘅情況,正常應該係要寫成
咁,但係因為成日用嘅關係,多數人都會寫成
咁,而唔寫基數就默認係
。
如果基數係歐拉數
,正常係應該要寫成
咁,但係好多時除咗
之後都要用埋佢呢,數學家就發明咗個符號叫
,所以所有基數係
嘅對數函數,就會寫成
。呢個就係自然對數(Natrual Logarithm)。
畫對數[編輯]
因為對數係指數嘅逆函數,所以可以利用
反射
得出
。
如果
![{\displaystyle a>1}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5b9d9fb0ff9d4455e75ccd29676bd7f33da80e)
。
如果
就會得出上面呢張圖嘅樣,藍色線就係
,將佢根據
,黑線,做一個反射就得出綠色線
。
如果
![{\displaystyle 0<a<1}](https://webcf.waybackmachine.org/web/20211024054633im_/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfd02fa239e3f0b03bda321fdc6f309e6b1d915)
。
如果
就會得出上面呢張圖嘅樣,藍色線就係
,將佢根據
,黑線,做一個反射就得出綠色線
。
以下呢個表可以比較指數同對數函數嘅相似同唔同之處:
指數函數
|
對數函數
|
軸相交點係
|
軸相交點係
|
函數域(Domain)係
|
函數域(Domain)係
|
Range係
|
Range係
|
趨近線係 軸
|
趨近線係 軸
|
對數應用[編輯]
對數可以做好多現實中嘅應用,以下舉出幾個出名嘅應用:
分貝(Decibel)係量度噪音程度嘅工具。佢係利用對數呢個概念。
分貝係數學上定義為:
式入面嘅
就係分貝,單位係
。
就每平方米嘅聲音強度,單位係瓦特(Watts)。
就係人最低可以聽到嘅噪音強度。平均嚟講,一般人最低可以聽到最低噪音係
。
黎克特制[編輯]
黎克特制(Richter Scale)係用嚟量度地震強度。
計算呢個強度嘅公式係:
;
就係強度,
就係地震震波強度,
就係地震所釋出嘅能量。
pH值[編輯]
pH值都有用到對數。
ph值公式:
;
就係氫離子嘅濃度。