Актер театра и кино. Театральный режиссер, педагог. Носит звание народного артиста СССР, присвоенное в 1990-м.
Потомок знаменитой семьи российских цирковых артистов. Еще школьником занимался в театральной студии при Дворце пионеров Бауманского района, а сразу после окончания школы поступил в Школу-студию МХАТ (мастерская Георгия Герасимова и Сергея Блинникова). Дуров был учеником знаменитых старых мхатовцев, в том числе Топоркова, Масальского, Раевского.
После окончания Школы-студии был приглашен в Центральный детский театр (ныне РАМТ), где встретился с режиссером Анатолием Эфросом. Встреча оказалась судьбоносной: много лет Дуров работал в команде Эфроса, был одним из его лучших и любимых артистов. С Эфросом Дуров пришел в Театр на Малой Бронной. Несколько лет был худруком театра, сейчас является корифеем труппы театра, где к 80-летнему юбилею артиста был поставлен спектакль «Буря», в котором Лев Константинович сыграл Просперо.
Лев Константинович скончался 20 августа на 84-м году жизни в московской больнице в результате продолжительной болезни.