Минус - отрицание. Отрицание отрицания - соглашение (плюс).

В школе говорили или говорят? Есть такое понятие, как алгебраическая сумма. Обычно, никаких вычитаний не используются, в общем-то.

Если поиспользовать логический аппарат, то придётся вернутся к понятию расстояния. Векторы складывать умеете? А вычитать? Вот, теперь возьмите два вектора на оси OX, и повычитайте. Зарисовав заодно.

Ну, а если надо объяснить ребёнку, то тут можно будет попробовать пойти немного другим путём. Вот когда Вы добавляете единицу, то происходит увелечение. Если отнимаете - величина уменьшается. Отрицательные числа "пропихивают" свой знак в выражение. То есть 1 + (-1) тоже самое, что 1 - 1. То есть "+" как бы умножается на "-". Если бы вычитали (1 - (-1)), то у нас как бы "-" умножился на "-", а это даёт плюс (из аксиом и всего такого).

Вообще, это аксиома. По сути дела. Я не очень хорошо объясняю, но ответ @denver не сильно мне нравится из-за использовании мнемоники, а не логики. То есть объяснить это есть примерно тоже самое, что объяснить, почему вселенная именно такая.

P.S. Да, с ужасом обнаружил, что не могу объяснить такие простые вещи. Кажется, у меня проблемы. Не так уже это и просто, оказывается.

Минус - это разница. Теперь представь координатную прямую на которой находятся -3 и 11. Так вот, разница (расстояние) между ними - это и есть твой ответ.

У меня есть 14 рублей и я нашёл ещё 3 рубля.
Итого у меня получилось: 14 + 3 = 17 рублей.
Потом я потерял 3 рубля: 17 - 3 = 14 рублей.

У меня есть 14 рублей и я взялся отдать долг в 3 рубля за другого человека.
Итого у меня осталось: 14 + (-3) = 11 рублей.
Потом я передумал отдавать долг: 11 - (-3) = 14 рублей.

Смотрите в сторону полей и их свойств.
Разность двух элементов поля ß и ç, есть ничто иное как сумма ß и элемента обратного ç, (-ç).
В таком случае имеем
ß - (-ç) = ß + (-(-ç)) = ß + ç

Подробнее можно почитать тут:
bit.ly/1gAJvpI

ManWithBear прав, если хотите понять, посмотрите что простые алгебраические структуры. Только не поля, а группы, в первую очередь.

Вот вам затравка.

Пусть у нас есть множество. Это будет наш игрушечный пример чисел. Только вместо чисел, чтоб не мозолили глаза, поставим пока буквы:

N = [a b c d e]

Введем операцию суммы. Назовем ее s(x,y), или еще проще x+y. Это такое правило, которая для любых двух элементов ставит в соответствие третий, из того же множества N.

Пройдемся по всем возможным парам в множестве N и проставим "от фонаря" соответствующие им элементы.

a+a=a
a+b=a
a+c=c
a+d=b
a+e=c
b+b=a
b+c=b
b+d=c
b+e=d
c+c=c
c+d=d
c+e=e
d+d=e
d+e=e
e+e=e

Вроде бы все. Тут нужно оговориться, что я считаю x+y=y+x. Я так захотел, так мне удобней (если я не буду принимать это правило, я получу совсем другую систему чисел).

Далее, я допустил "читинг", я ставил числа не "от фонаря". Если присмотретесь, то любой элемент x множества N прибавленный к c, дает x. Т.е.
a+c=a
b+c=b
...
Назовем "c" - нейтральным. Ничего не напоминает? Мы только что изобрели Ноль! :)

Более того, есть еще одна закономерность в построенной мной сумме. Для любого элемента в N найдется такой, что при сложении он сводится к нейтральному элементу, т.е. к нулю:
a+e=c
b+d=c
c+c=c
Поздравляю, мы изобрели обратный элемент, или отрицательные числа! Операцию, которая по элементу ставит в соответствие
-a=e
-b=d
-c=c

Аналогично,
-e=a
-d=b
-c=c

Теперь, рассмотрим, к примеру, операцию
b+(-d) = ?
Как мы видели, (-d) это всего лишь элемент, обратный
b+(-d) = b+b
Смотрим в табличке суммы, к чему ведет сложение b и b. Оно ведет к 'a'. Т.е.
b+(-d) = b+b = a

Но что такое -(-d). Это
-(-d) = -(b) = d
Т.е. по нашему построению суммы, обратный элемент от обратного элемента есть исходный элемент. Вот и весь секрет.

Теперь просто переименуем буквы в другие, более привычные иероглифы
N={a,b,c,d,e} -> N = { -2, -1, 0, 1, 2 }

Внимание! Никакой сакральный смысл эти новые обозначения не несут! "-2", "-1" это просто набор палочек и черточек. С таким же успехом я сюда бы мог вставить морды котов, или китайские иероглифы.

Перепишем в новых обозначениях:
-(-d) = -(b) = d
станет
-(-(2)) = -(-2) = 2 (так как обратное от (-2) равно 2 )

Надеюсь, стало понятней. И добро пожаловать в алгебру :).